Минимизация коньюнктивных нормальных форм.

Минимизация КНФ производится аналогично рассмотренным методам минимизации ДНФ булевых функций, поэтому остановимся лишь на основных положениях.

Напомним, что конституентой нуля называется функция, принимающая значение 0 на одном наборе. Она выражается дизъюнкцией всех переменных функций. Например, набору 0110 соответствует конституента нуля x₁+x₂+x₃+x₄.

Имцлицентой g булевой функции f называется функция, принимающая значение 0 на подмножестве нулевых наборов функции f.

Простой имплицентой функции f называется элементарная дизъюнкция, являющаяся имплицентой функции f, причем никакая ее собственная часть имплицентой функции f не является.

Задачей минимизации КНФ является определение минимальной КНФ. Эта задача также решается в два этапа - поиск сокращенной КНФ (конъюнкция всех простых имплицент) и затем нахождение минимальной КНФ. Второй этап минимизации выполняется с помощью таблицы Квайна точно так же, как при поиске минимальной ДНФ, так как возможны только два варианта: либо данная простая имплицента поглощает данную конституенту нуля, либо нет в соответствии с соотношением поглощения:

(A v x)A = A

Что касается первого этапа - поиска всех простых имплицент, то практически все методы минимизации ДНФ имеют свои аналоги для КНФ. Расссмотрим это подробнее.

Соотношение склеивания по Квайну:

Соотношение склеивания по Блейку:

Метод Нельсона в применении к задаче минимизации КНФ: раскрытие скобок в произвольной ДНФ функции и выполнение поглощений приводит к сокращенной КНФ. Предполагаются скобки в начале и конце каждого элементарного произведения исходной ДНФ и использование второго дистрибутивного закона. Например, функция, заданная минимальной ДНФ: x₁/x₂ v /x₁x₂ дает возможность определить ее сокращенную КНФ:

По диаграмме Вейча поиск минимальной КНФ осуществляется так же просто, как в случае ДНФ. Отличие состоит лишь в том, что анализируются нулевые наборы и переменные выписываются с инверсиями. Например, для функции, заданной диаграммой (рис. 20).

Рис. 20. Карта Вейча для поиска f _{min КНФ}

минимальной КНФ, является

Для сравнения найдем минимальную ДНФ:

В данном случае ДНФ оказалась проще, В общем случае о сравнительной сложности минимальных ДНФ и КНФ нельзя говорить заранее, но можно отметить следующее: количество букв минимальной ДНФ произвольной функции f и минимальной КНФ функции /f одинаково.

Минимизация не полностью определенных фал

Если при синтезе логической схемы, реализующей некоторую ФАЛ n переменных, окажется, что некоторые наборы из общего числа 2ⁿ никогда не смогут появиться на входах схемы, то данная логическая функция не определена на этих наборах. Тогда 2ⁿ наборов переменных можно подразделить на три группы: наборы, на которых функция принимает единичное значение L, нулевое значение D и группа наборов, на которых функция не определена N (неопределенные наборы). ФАЛ, содержащая неопределенные наборы, называется неполностью или частично определенной. Неопределенные наборы могут быть использованы для улучшения качества минимизации. При этом неопределенные наборы (при минимизации, например, картами Вейча, Карно) могут участвовать в образовании контуров как с единичными, так и с нулевыми наборами. Это приводит к формированию более простой минимизированной логической функции.

	x2
x1	1		1	*
	1	*		*
	x 3

Рис.21 Карта Вейча

Звездочками на карте (рис. 21) отмечены наборы на которых функция f не определена. Если не учитывать неопределенные наборы, то записать минимальная форма будет иметь вид: . В случае если неопределенные наборы участвуют в образовании контуров, а следовательно, и f_МДНФ, то функция примет следующий вид: . Таким образом, схемная реализация полученной f_МДНФ будет дешевле.

Приведем несколько примеров минимизации частичных булевых функций: