4. Расчет динамических характеристик

У прибора и датчика со статической характеристикой у = Sх при неустановившемся режиме измерения возникает динамическая погрешность

где x(t) – закон изменения входного сигнала (внешнее воздействие);

у(t) – закон изменения выходного сигнала (реакция прибора на внешнее воздействие).

Вид внешнего воздействия x(t) в реальных условиях эксплуатации ИУ определяется характером протекания контролируемого физического процесса. В целях унификации методов динамических испытаний и создания возможности сопоставления характеристик различных ИУ принято заменять реальное воздействие x(t) типовыми воздействиями, основные виды которых – ступенчатое, импульсное и гармоническое воздействия. Реакцию измерительной системы на типовые воздействия можно определить методом преобразования Лапласа, для чего должна быть известна передаточная функция ИУ.

Передаточная функция следует из дифференциального уравнения, устанавливающего связь между х, у и их производными:

где

Если дифференциальное уравнение линейное или линеаризуемое, то оно приобретает вид

откуда определяется передаточная функция

где х(р) и у(р) – изображения Лапласа для х и у при нулевых начальных условиях;

р – оператор преобразования Лапласа.

При определении передаточных функций конкретных приборов и датчиков часто возникают трудности на этапе составления дифференциального уравнения в связи с тем, что дифференциальное уравнение, описывающее определенный физический процесс, может быть составлено с различной степенью приближения. Часто, например, возникает вопрос, следует ли учитывать малые постоянные времени или ими можно пренебречь. Решение приходится принимать в каждом конкретном случае в зависимости от численных значений параметров системы и с учетом условий динамической устойчивости системы, в которой используется данный прибор или датчик.

Передаточную функцию прибора или датчика можно определить, подвергая преобразованию Лапласа дифференциальное уравнение, описывающее работу прибора (датчика) в целом. Однако получение такого дифференциального уравнения обычно сопряжено с громоздкими математическими выкладками. Более рациональным является способ определения передаточной функции с помощью структурной схемы. Этот способ состоит из следующих операций:

а) составляется структурная схема прибора (датчика);

б) составляются дифференциальные уравнения преобразующих звеньев и определяются их передаточные функции, в случае необходимости определяются приведенные коэффициенты дифференциальных уравнений;

в) определяется общая передаточная функция ИУ с учетом передаточных функций преобразующих звеньев и способа соединения звеньев на структурной схеме.

1. Уравнения типовых физических преобразований

Рассмотрим примеры составления дифференциальных уравнений типовых физических преобразований, встречающихся в приборах и датчиках, применяемых на летательных аппаратах.

• Преобразование температуры в электрический или механический сигнал

Преобразование температуры в электрический или механический сигнал осуществляется тем или иным теплочувствительным элементом, погруженным в среду, температура которой измеряется.

Рассмотрим в качестве примера термопару, развивающую электродвижущую силу е, пропорциональную температуре θ':

^(2.4.1)

где S_Т – чувствительность термопары.

Вследствие тепловой инерции чувствительного элемента температура θ' чувствительного элемента в неустановившемся режиме не совпадает с температурой θ среды.

В линейном приближении процесс передачи тепла от среды к погруженному в нее чувствительному элементу описывается двумя уравнениями:

(1.11)

где θ – температура среды в град. К;

θ' – температура чувствительного элемента в град. К;

Q_Т – количество теплоты в чувствительном элементе в дж;

F – площадь соприкасающейся со средой поверхности чувствительного элемента в м²;

m – масса чувствительного элемента в кГс;

c – удельная теплоемкость массы чувствительного элемента в дж/кг ·град;

λ – общий коэффициент теплопередачи от среды к чувствительному элементу в дж/м² ·град · сек.

Решая совместно уравнения (1.10) и (1.11) и исключив θ', получим дифференциальное уравнение

– постоянная времени в сек.

Передаточная функция теплочувствительного элемента (если считать θ входной величиной, е – выходной)

(1.12)

Обычно чувствительный элемент термометра отделен от измеряемой среды защитным корпусом. В этом случае имеет место двухступенчатая передача тепла: вначале тепло передается от среды к защитному корпусу, а затем – от корпуса к чувствительному элементу. Если учесть это обстоятельство, то получим передаточную функцию приемника температуры в виде

(1.13)

где Т₁ – постоянная времени передачи тепла от среды к защитному корпусу;

Т₂ – постоянная времени передачи тепла от корпуса к чувствительному элементу.

Поскольку корпус непосредственно омывается жидкостью или газом, температура которых измеряется, а чувствительный элемент обычно отделен от корпуса воздушной прослойкой, то практически Т₁ « Т₂. Поэтому приближенно можно пренебречь постоянной времени Т₁ и пользоваться передаточной функцией (1.12) вместо (1.13), учитывая лишь передачу тепла от корпуса к чувствительному элементу.

• Преобразование электродвижущей силы в силу тока

В приборах и датчиках с электрическим чувствительным элементом (например, термопарой) развиваемая чувствительным элементом электродвижущая сила е часто преобразуется в силу тока i с целью ее измерения гальванометром или усиления магнитным усилителем. Подобное преобразование осуществляется электрической цепью, которую можно представить в виде пассивного безреактивного четырехполюсника, на выходе которого включена нагрузка с активным сопротивлением r и индуктивностью L (Рис.1.5). На вход четырехполюсника подается изменяющаяся во времени электродвижущая сила е, под влиянием которой в нагрузке течет ток i.

Рассматривая четырехполюсник как эквивалентный генератор, получим дифференциальное уравнение электрической цепи в виде

(1.14)

где K₁e – напряжение холостого

хода эквивалентного генератора;

R

Рис. 1.5 Схема преобразования э.д.с. в силу тока

_вн – внутреннее сопротивление эквивалентного генератора

Параметры K₁ и R_вн зависят от внутренней схемы четырехполюсника. Например, для электрической цепи термоэлектрического термометра (см. рис. 1.4., а), в которой термопара является источником э. д. с, а обмотка магнитоэлектрического гальванометра – нагрузкой, эти параметры равны

Из уравнения (3.5) следует передаточная функция электрической цепи

При практических расчетах в отдельных случаях пренебрегают постоянной времени Т₂. Например, если нагрузкой служит обмотка рамки гальванометра, магнитопровод которого имеет воздушный зазор, то ее индуктивность весьма мала и можно принять Т₂ = 0; в тех случаях, когда нагрузкой является обмотка магнитного усилителя, магнитопровод которого замкнут, ее индуктивность L необходимо учитывать, не пренебрегая постоянной времени Т₂..