Лекція 1.6.

Логарифмічні характеристики (BodeDiagram).

Діаграма Нікольса.

Властивості кореневого годографу.

1.6.1. Логарифмічні характеристики (Bode Diagram).

Головною перевагою логарифмічних характеристики є те, що множники (τs+1→ jωτ+1), які формують передаточну функцію САУ можна розрахувати як суму співмножників 20lg|jωτ+1|.

Якщо ми розглянемо загальну форму передаточної функції будь-якої САУ:

(1.6.1.1)

де:

ω_nk – k-та частота власних коливань;

ζ_k – k-тий коефіцієнт демпфірування.

Ця передаточна функція має Q нулів, N полюсів на початку координат, M полюсів на дійсної осі і R пар комплексно-сполучених полюсів.

Це пов’язано з тим, що дуже важко побудувати частотну характеристику у полярних координатах для складної САУ.

(1.6.1.2)

Логарифмічні амплітудно-частотні характеристики можна достатньо легко побудувати за рахунок підсумовування (складання) відповідних характеристик співмножників, які відносяться до кожного окремого типу (ланки) у Рівн.(1.5.6.1).

Також можна отримати логарифмічні фазово-частотні характеристики:

(1.6.1.3)

Таким чином, будь-яка складна передаточна функція містить 4 типа перемінних співмножників:

1. Постійний коефіцієнт підсилення K_b;

2. Полюси (нулі) на початку координат (jω);

3. Полюси (нулі) на дійсної осі (jω+1);

4. Комплексно-сполучені полюси (нулі) [1+(2ζ/ω_n)jω +(jω/ω_n)²].

Кожний співмножник має власні амплітудно-частотні характеристики, таким чином можна їх підсумувати.

Ці характеристики є кривими, але можна спростити процедуру побудови за рахунок використання відповідних асимптотичних характеристик, а точні значення отримати у особливих випадках.

1. Постійний коефіцієнт підсилення K_b.

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика:

20lg K_b = const. (dB);

Логарифмічна фазово-частотна характеристика: ϕ(ω)=0;

Якщо K_b<0, тоді ЛАЧХ така ж сама: 20lg K_b = const., а ЛФЧХ враховує знак мінус: ϕ(ω)= -180⁰;

2. Полюси (нулі) на початку координат (jω).

2.1. ЛАЧХ:

пряма лінія з кутом нахилу-20dB/дек.;

ЛФЧХ: ϕ(ω)= -90⁰;

2.2. Полюс кратностіNна початку координат:

ЛАЧХ:

пряма лінія з кутом нахилу-20N(dB/дек.);

ЛФЧХ: ϕ(ω)= -N 90⁰;

2.3. Нуль на початку координат:

ЛАЧХ:

пряма лінія з кутом нахилу+20dB/дек;

ЛФЧХ: ϕ(ω)= +90⁰;

3. Полюси (нулі) на дійсної осі.

3.1. Співмножник (1+jωτ)^-1.

Характеристики полюсу на дійсної осі обумовлені співмножником (1+jωτ)^-1.

ЛАЧХ:

Прямі асимптоти мають наступні вирази:

Якщо ω«1/τ → 20lg1=0 (dB) – це пряма лінія;

Якщо ω»1/τ -20lgωτ – це відноситься до прямої лінії з кутом нахилу -20dB/дек.

Ці 2 асимптоти перетинаються у точці згідно з наступним рівнянням:

20 lg1=0dB = -20 lgωτ; тобто при ω=1/τ (яка називається частотою злому).

Точне значення ЛАЧХ при ω=1/ τ дорівнює -3dB.

ЛФЧХ: ϕ(ω)= -arctgωτ.

Цей випадок відповідає аперіодичній ланці 1 порядку.

3.2. Для співмножника (1+jωτ) логарифмічні характеристики отримуються аналогічним шляхом:

- нахил асимптоти ЛАЧХ +20dB/дек.;

- ЛФЧХ: ϕ(ω)= +arctgωτ.

4. Комплексно-сполучені полюси (нулі)[1+(2ζ/ω_n)jω+(jω/ω_n)²].

Квадратний член, який відноситься до пари комплексно-сполучених полюсів можна представити у наступному вигляді:

[1+ j2ζu – u²]^-1;

де u=ω/ω_n.

Тоді ми отримуємо наступну ЛАЧХ для пари комплексно-сполучених полюсів:

20lg|W(jω)|= -10 lg[(1- u²)²+4ζ²u²]; (1.6.1.4)

ЛФЧХ: ϕ(ω)= -arctg;

Якщо ω«1, тоді:

ЛАЧХ:

20 lg|W(jω)|=-10 lg1=0 db;

ЛФЧХ – наближується до 0⁰.

Якщо ω»1, тоді:

20 lg|W(jω)|≈ -10 lgu⁴= - 40 lgu; - це відповідає куту нахилу-40db/дек.

Якщо , тодіЛФЧХнаближується до-180⁰.

Асимптоти ЛАЧХ перетинаються при значенні 0 dB, якщо u= ω/ω_n=1.

Але різниця між точним значенням ЛАЧХ і її приблизним значенням залежатиме від коефіцієнту демпфірування ζ (необхідно брати до уваги так звані „резонансні характеристики” для ланки 2-го порядку) і вносити необхідні корективи.

- резонансна частота;

- макс. значення амплітуди коливань на резонансній частоті.

Програма marginможе визначити значення запасів стійкості за модулем і фазою, а також частоти, при яких визначені ці запаси стійкості для САУ, яка аналізується:

hd = tf([…],[…])

margin(hd)

ЗСФ

Мал.1. Процедура визначення запасів стійкості за модулем і фазою.