- •1.6.1. Логарифмічні характеристики (Bode Diagram).
- •2. Полюси (нулі) на початку координат (jω).
- •3. Полюси (нулі) на дійсної осі.
- •1.6.2. Діаграма Нікольса.
- •1.6.3. Властивості кореневого годографу.
- •1. Кореневий годограф є симетричним відносно дійсної осі.
- •4. Кореневий годограф включає всі точки на дійсної осі, що розташовані зліва від непарного числа дійсних особливостей (нулів і полюсів) передаточної функції.
- •5. Визначення точок відриву кореневого годографу.
1. Кореневий годограф є симетричним відносно дійсної осі.
Пояснення:
Будь-яка САУ має передаточну функцію у вигляді дрібної раціональної функції (відношення 2 поліномів) з дійсними коефіцієнтами. Звідси, якщо характеристичне рівняння має комплексний корінь, тоді обов”язково повинен бути комплексно-сполучений корінь, тобто комплексні корені з дійсними коефіцієнтами завжди матиме комплексно-сполучені пари.
2. Кореневий годограф при K=0 починається у полюсах функції G(s)H(s), і при Kзакінчується у нулях цієї функції, включаючи нулі, які розташовані у нескінченності.
Ми можемо представити характеристичне рівняння у наступному вигляді:
(1.6.3.8)
Або інакше:
(1.6.3.9)
Ми бачимо, що:
2.1. Якщо K=0 корені характеристичного рівняння співпадають з плюсами функції ;
2.2. Якщо K → ∞, але є кінцевим, гілки кореневого годографу закінчуються у нулях передаточної функції розімкненої САУ;
2.3. Якщо ця передаточна функція має нулі, які розташовані у нескінченності, тобто якщо n>m (це властиво моделям реальних САУ), тоді кореневий годограф наближується до цих нулів.
3. Ми можемо переписати Рівн.(1.5.8.1) у наступному вигляді:
(1.6.3.10)
де (1.5.8.11).
Таким чином, функція маєα нулів у нескінченності.
Якщо у Рівн.(1.6.3.3) s→∞, тоді кожний поліном визначається старшим ступенем цієї перемінної, і тоді:
(1.6.3.12).
Таким чином, кореневий годограф при великих значенняхs задовольняє наступному відношенню:
(1.6.3.13)
Це рівняння приводиться до наступного вигляду:
(1.6.3.14)
або
(1.6.3.13)
Оскільки s→∞, тоді модулі коренів цього рівняння також наближуються до нескінченності, і аргументи матиме наступні значення:
(1.5.8.14)
Кути, що визначаються Рівн.(1.5.8.14) є кутами нахилу асимптот кореневого годографу, до яких наближуються його гілки якщоs→∞ (і отже якщо K→∞).
Таблиця 1. Кути нахилу асимптот.
α |
|
0 |
асимптоти відсутні |
1 |
1800 |
2 |
±900 |
3 |
±600; 1800 |
4 |
±450; ±1350 |
Якщо ми визначимо через σaзначення точки, у якій асимптоти перетинатиме дійсну вісь, тоді ми отримуємо такий вираз:
(1.6.3.15).
Полюси і нулі відносяться до передаточної функції розімкненої САУ.
Рівн.(.5.8.15) використовується тільки якщоα≥2.
Якщо передаточна функція розімкненої САУ має α нулів у нескінченності (α≥1), тоді при Kкореневий годограф наближується до α асимптот, які розташовані під кутами:
і які перетинатиме дійсну вісь у точці згідно з Рівн.(1.6.3.15).
4. Кореневий годограф включає всі точки на дійсної осі, що розташовані зліва від непарного числа дійсних особливостей (нулів і полюсів) передаточної функції.
Якщо передаточна функція замкненого контуру містить дійсний нуль або полюс, який знаходиться на дійсної осі, тоді аргумент вектору у цьому випадку завжди дорівнює 00або 1800.
У випадку, коли передаточна функція замкненого контуру містить комплексні полюси або нулі, тоді вони завжди утворюють комплексно-сполучені пари. Сума кутів від кожної пари нулів або полюсів до точки на дійсної осі буде завжди дорівнювати 00або 3600.