1. Кореневий годограф є симетричним відносно дійсної осі.

Пояснення:

1. Будь-яка САУ має передаточну функцію у вигляді дрібної раціональної функції (відношення 2 поліномів) з дійсними коефіцієнтами. Звідси, якщо характеристичне рівняння має комплексний корінь, тоді обов”язково повинен бути комплексно-сполучений корінь, тобто комплексні корені з дійсними коефіцієнтами завжди матиме комплексно-сполучені пари.

2. Кореневий годограф при K=0 починається у полюсах функції G(s)H(s), і при Kзакінчується у нулях цієї функції, включаючи нулі, які розташовані у нескінченності.

Ми можемо представити характеристичне рівняння у наступному вигляді:

(1.6.3.8)

Або інакше:

(1.6.3.9)

Ми бачимо, що:

2.1. Якщо K=0 корені характеристичного рівняння співпадають з плюсами функції ;

2.2. Якщо K → ∞, але є кінцевим, гілки кореневого годографу закінчуються у нулях передаточної функції розімкненої САУ;

2.3. Якщо ця передаточна функція має нулі, які розташовані у нескінченності, тобто якщо n>m (це властиво моделям реальних САУ), тоді кореневий годограф наближується до цих нулів.

3. Ми можемо переписати Рівн.(1.5.8.1) у наступному вигляді:

(1.6.3.10)

де (1.5.8.11).

Таким чином, функція маєα нулів у нескінченності.

Якщо у Рівн.(1.6.3.3) s→∞, тоді кожний поліном визначається старшим ступенем цієї перемінної, і тоді:

(1.6.3.12).

Таким чином, кореневий годограф при великих значенняхs задовольняє наступному відношенню:

(1.6.3.13)

Це рівняння приводиться до наступного вигляду:

(1.6.3.14)

або

(1.6.3.13)

Оскільки s→∞, тоді модулі коренів цього рівняння також наближуються до нескінченності, і аргументи матиме наступні значення:

(1.5.8.14)

Кути, що визначаються Рівн.(1.5.8.14) є кутами нахилу асимптот кореневого годографу, до яких наближуються його гілки якщоs→∞ (і отже якщо K→∞).

Таблиця 1. Кути нахилу асимптот.

α
0	асимптоти відсутні
1	1800
2	±900
3	±600; 1800
4	±450; ±1350

Якщо ми визначимо через σ_aзначення точки, у якій асимптоти перетинатиме дійсну вісь, тоді ми отримуємо такий вираз:

(1.6.3.15).

Полюси і нулі відносяться до передаточної функції розімкненої САУ.

Рівн.(.5.8.15) використовується тільки якщоα≥2.

Якщо передаточна функція розімкненої САУ має α нулів у нескінченності (α≥1), тоді при Kкореневий годограф наближується до α асимптот, які розташовані під кутами:

і які перетинатиме дійсну вісь у точці згідно з Рівн.(1.6.3.15).

4. Кореневий годограф включає всі точки на дійсної осі, що розташовані зліва від непарного числа дійсних особливостей (нулів і полюсів) передаточної функції.

Якщо передаточна функція замкненого контуру містить дійсний нуль або полюс, який знаходиться на дійсної осі, тоді аргумент вектору у цьому випадку завжди дорівнює 0⁰або 180⁰.

У випадку, коли передаточна функція замкненого контуру містить комплексні полюси або нулі, тоді вони завжди утворюють комплексно-сполучені пари. Сума кутів від кожної пари нулів або полюсів до точки на дійсної осі буде завжди дорівнювати 0⁰або 360⁰.