лекции / Лекции / 14.Свойства ДПЛ. Дифференцирование изображения

Дифференцирование изображений

Рассмотрим теорему о дифференцировании изображения по аргументу q.

Теорема 8. Если является оригиналом, а - ее изображением, то справедливо равенство:

(1)

Доказательство:

Дифференцируя ряд по аргументу q, получаем:

Мы поменяли порядок суммирования и дифференцирования. Почленное дифференцирование ряда возможно, если ряд, состоящий из производных, сходится равномерно.

Для того, чтобы в этом убедиться, определим абсциссу абсолютной сходимости в уравнении (1). Так как ряд

сходится абсолютно в каждой точке, где и расходится, где .

Здесь справедливо следующее:

Рассмотрим предел под знаком логарифма:

Это значит, что абсцисса абсолютной сходимости ряда совпадает с абсциссой абсолютной сходимости ряда . И поэтому ряд сходится абсолютно, где выполняется неравенство . Таким образом почленное дифференцирование ряда допустимо справедлива общая формула дифференцирования изображения: