Дифференцирование изображений
Рассмотрим теорему о дифференцировании
изображения
по
аргументу q.
Теорема 8. Если
является оригиналом, а
- ее изображением, то справедливо
равенство:
(1)
Доказательство:
Дифференцируя ряд
по аргументу q, получаем:
Мы поменяли порядок суммирования и
дифференцирования. Почленное
дифференцирование ряда
возможно, если ряд, состоящий из
производных, сходится равномерно.
Для того, чтобы в этом убедиться, определим абсциссу абсолютной сходимости в уравнении (1). Так как ряд
сходится абсолютно в каждой точке, где
и расходится, где
.
Здесь справедливо следующее:
Рассмотрим предел под знаком логарифма:
Это значит, что абсцисса абсолютной
сходимости ряда
совпадает с абсциссой абсолютной
сходимости ряда
.
И поэтому ряд
сходится
абсолютно, где выполняется неравенство
.
Таким образом почленное дифференцирование
ряда
допустимо справедлива общая формула
дифференцирования изображения:
