Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

лекции / Лекции / 12.Свойства ДПЛ. Умножение изображений

.doc
Скачиваний:
48
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
65.02 Кб
Скачать

Умножение изображений

Определим свертку решетчатых функций и по формуле:

(1)

С учетом этого определения сформулируем следующую теорему:

Теорема 6. Если и - оригиналы, то свертка этих функций также является оригиналом, причем изображение свертки равно произведению изображений и . То есть справедливо равенство:

(2)

При этом есть дискретное преобразование Лапласа от соответствующих функций:

Доказательство:

Выполним умножение изображений:

В результате почленного переумножения двух рядов получим ряд, состоящий из всех попарных произведений:

Теперь сгруппируем члены полученного ряда при равных степенях :

Это совпадает с уравнением (2). Покажем, что свертка двух функций, которые являются оригиналами, также являются оригиналом.

Так как функции и - оригиналы, то должны выполняться два условия:

Получим следующую оценку для свертки функций и :

Пусть - это наибольший из двух чисел от и . Тогда последнее неравенство примет вид:

Теперь отметим, что при любом и для сколь угодно малого справедливо:

А это означает, что выполняется неравенство:

А это значит, что справедлива следующая оценка:

Таким образом, мы доказали, что свертка двух оригиналов является также оригиналом.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.