Интегрирование в области изображений
Теорема 10. Если функция
является оригиналом и обращается в нуль
при k=0, то существует
интеграл от изображения
,
которое определяется равенством:
(1)
Где интегрирование осуществляется по
любому контуру, соединяющему точку q
с бесконечно удаленной точкой и
принадлежащей области, где
является аналитической функцией.
Доказательство:
Интегрируя равенство
по контуру, соединяющему точку q
с бесконечно удаленной точкой и которая
принадлежит области
,
где
- абсцисса абсолютной сходимости,
получим:
Результат совпадает с уравнением (1).
Теперь покажем правомерность постановки
операции суммирования и интегрирования.
Это возможно, когда при
выполняется неравенство:
И, следовательно, ряд
сходится
равномерно в любой области, где справедливо
.
Теорема доказана.