лекции / Лекции / 18.Свойства ДПЛ. Предельное значение изображения

Предельное значение изображения

Теорема 12. Если решетчатая функция является оригиналом и имеет изображение , то начальное значение решетчатой функции определяется по формуле:

(1)

Где предел при берется по любой кривой, которая принадлежит области определения , и удовлетворяет условию , где - сколь угодное малое положительное число.

Доказательство:

Представим основную формулу дискретного преобразования Лапласа:

Вычислим начальное значение решетчатой функции:

(2)

Так как решетчатая функция по условию теоремы является оригиналом, то должно выполняться неравенство:

Где - показатель роста решетчатой функции.

Тогда сумма правой части уравнения (2) допускает следующую оценку:

(3)

Если теперь , оставаясь внутри угла , то .

Правая часть выражения (3) при этом стремится к нулю, и левая его часть также стремится к нулю.

Из уравнения (2) получаем следующее выражение:

Теорема доказана.