Предельное значение изображения
Теорема 12. Если решетчатая функция
является оригиналом и имеет изображение
,
то начальное значение решетчатой функции
определяется по формуле:
(1)
Где предел при
берется по любой кривой, которая
принадлежит области определения
,
и удовлетворяет условию
,
где
- сколь угодное малое положительное
число.
Доказательство:
Представим основную формулу дискретного преобразования Лапласа:
Вычислим начальное значение решетчатой функции:
(2)
Так как решетчатая функция по условию теоремы является оригиналом, то должно выполняться неравенство:
Где
- показатель роста решетчатой функции.
Тогда сумма правой части уравнения (2) допускает следующую оценку:
(3)
Если теперь
,
оставаясь внутри угла
,
то
.
Правая часть выражения (3) при этом стремится к нулю, и левая его часть также стремится к нулю.
Из уравнения (2) получаем следующее выражение:
Теорема доказана.