Линейные
разностные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Выражение:
(1)
называется разностным уравнением.
Здесь
-
заданные постоянные коэффициенты, а
- заданная дискретная функция.
Уравнение (1) устанавливает связь между дискретной функцией и ее разностями.
Если воспользоваться:
(2)
То уравнение (1) представим в виде:
(3)
Где
- постоянные коэффициенты, связанные с
формулой:
(4)
Число n в выражении (3) – порядок разностного уравнения.
Дискретная функция
,
которая обращает разностное уравнение
(3) в тождество, называется решением
разностного уравнения.
Если
,
то получим однородное разностное
уравнение:
(5)
Уравнение вида:
(6)
называется характеристическим уравнением заданного разностного уравнения. Общее решение разностного уравнения (3) состоит из двух частей:
1) Из общего решение соответствующего линейного однородного уравнения, которое зависит от n постоянных и определяется формулой:
(7)
2) Из частного решения неоднородного
разностного уравнения
,
которое определяется видом правой части
.
И, следовательно, общее решение линейного
неоднородного разностного уравнения
определяется равенством:
(8)