Изображение конечных разностей функций
Теорема 4: Пусть
является оригиналом и
-
ее изображением, то первая разность
также является оригиналом, и при этом
справедливо равенство:
(1)
Доказательство:
Используя теоремы (1) и (2) и определение
разности, для первой разности
получим:
Если
допускает D-преобразование,
то ее разность произвольного порядка
n также допускает
D-преобразование, поскольку
разность n-ого порядка
можно представить по следующее формуле:
Где
-
факториальная функция.
N-ую разность можно представить в виде линейной комбинации решетчатых функций:
При этом могут быть получены следующие формулы с применением формулы (1):
…………………………………………………………………………….
(2)
Если
,
то функция
,
и тогда получим:
(3)