Дискретные функции
Функции, заданные только в некоторых
точках оси t (
называются
дискретными. Будем рассматривать
функции, которые определены в равноотстоящих
точках оси времени
.
Здесь k – любое целое
число, T – постоянная,
которая называется периодом дискретности.
Дискретная функция обозначается -
,
где
- аргумент дискретной функции.
Любой непрерывной функции x(t)
можно подставить в соответствие множество
дискретных функций, если представить
аргумент t в следующем
виде
.
Где
.
При каждом фиксированном значении
,
функцию
можно
представить как решетчатую функцию в
точках
.
Это иллюстрирует рисунок 1:
Такие функции называются смещёнными
дискретными функциями и обозначаются
следующим образом -
.
Если изменять
от 0 до 1, то можно получить множество
дискретных функций, которые соответствуют
заданной непрерывной функции. Благодаря
непрерывной функции x(t),
функция
является также непрерывной функцией
относительно параметра
.
Функция
является функцией одного аргумента k
при фиксированном значении Т. Поэтому
в дальнейшем параметр Т будем опускать
и писать функцию в виде
.
Также и смещённая функция
зависит от параметров k
и
.
Обозначим ее
.
Операции над дискретными функциями.
1) Конечные разности дискретных функций.
Выражение вида:
(1)
Называется конечной разностью первого
порядка, то есть
- первая разность функции
.
Первая разность от дискретной функции
называется разностью второго порядка:
(2)
И аналогично для n-ого порядка получим разность n-ого порядка:
(3)
Любую разность функции
можно выразить через значения функции.
Разность второго порядка:
Разность третьего порядка:
Разность n-го порядка:
Взятие разности является линейной операцией, т.е. справедливо отношение:
Где
-
постоянное число.
2) Суммирование дискретных функций.
Пусть задана дискретная функция
при k=0,1,… Требуется найти
функцию
,
которая является первой разностью для
функции
.
Эта функция имеет вид:
Если рассмотреть первую разность от этой функции, то получим:
Итак
называется первообразной от
.
Если теперь функция
определена при любом целом значении k,
то для определения первообразной надо
потребовать, чтобы при любом конечном
значении k, ряд
сходился. В этом случае первообразная
будет определена следующим выражением:
Если теперь
является первообразной для
,
то функция
,
где C –постоянное число,
также является первообразной:
Таким образом общий вид первообразной
от функции
является:
Значение постоянной С можно выразить через значения первообразной при некотором фиксированном значении аргумента, например, k=N.
И первообразная:
После преобразования последней формулы получим значение первообразной для любого k>N:
(4)