Завдання для самостійного опрацювання

1. Логіка висловлювань

1. Побудувати таблиці істинності для кожного з висловлювань: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Довести, що формули , , , , де - значення «хибності», мають ту саму таблицю істинності, що й формула .

3. Довести, що формули та мають однакові таблиці істинності.

4. Застосувавши таблиці істинності, довести закони дистрибутивності.

5. Застосувавши таблиці істинності, довести закони де Моргана.

6. Побудувати складне висловлювання, яке складається з простих висловлювань , , та набуває значення тоді й лише тоді, коли: а) та істині, хибне; б) точно два з трьох висловлювань , , істинні.

2. Теорія множин

1. Задано множини , , . Побудувати Декартові добутки: а) ; б); в) ; г) .

2. Задано множини та . Побудувати множини: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Знайти множини та , якщо , , і .

4. Довести рівність .

5. Задано універсальну множину : а) подати бітовими рядками множини , , ; б) відновити множини за бітовими рядками 0101111100, 1000000001, 1111111111.

6. Показати, як можна використати операції над бітовими рядками для знаходження значень виразів: а) ; б) ; в) ; г) . Тут універсальна множина - латинський алфавіт, якай складається з 26 букв, а множини , , та такі: , , , .

3. Комбінаторний аналіз

1. Нехай . Навести всі розміщення та сполучення без повторень з елементів множини по 3 елементи.

2. Обчислити кількість перестановок множини , які закінчуються буквою .

3. Обчислити значення: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) .

4. У групі чоловіків і жінок. Скількома способами їх можна вишикувати в шеренгу так, щоб чергувалися чоловік і жінка?

5. Скількома способами можна розсадити шістьох осіб за круглим столом?

6. Із цифр 1, 2, 3, 4, 5, не повторюючи їх, скласти всі можливі п’ятицифрові числа. Скільки серед них таких чисел: а) які починаються цифрою 3; б) не починаються цифрою 5; в) починаються з 54?

7. Знайти кількість розв’язків наведених нижче рівнянь у невід’ємних цілих числах: а) ; б) .

8. Побудувати розклад: а) ; б) ; в) ; г) .

9. Скільки членів у розкладі ?

10. Записати розклад .

11. Знайти коефіцієнти при у розкладі .

12. Описати алгоритм побудови розміщень по елементів множини з елементів. За його допомогою виписати всі розміщення по два елементи множини {1,2,3,4,5}.

4. Теорія графів

1. Знайти кількість вершин, ребер і степені кожної вершини неорієнтованих графів: а) б)

2. Знайти суму степенів вершин кожного з графів задачі 1 та переконатись, що вона вдвічі більша за кількість ребер графа.

3. Визначити кількість вершин та дуг і знайти напівстепені входу й виходу для кожної вершини орієнтованих мультиграфів: а) б)

4. Для кожного з графів задачі 3 знайти суму напівстепенів входу та суму напівстепенів виходу вершин. Переконатись, що кожна з них дорівнює кількості дуг графа.

5. Скільки вершин і ребер мають наведені нижче графи: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

6. Скільки ребер має граф, у якого вершини мають такі степені: 4, 3, 3, 2, 2?

7. Зобразити орієнтовані графи за матрицями суміжності: а) ; б) ; в) .

8. Зобразити орієнтовані графи за матрицями суміжності: а) ; б) .