Теорема 1

Если функция доставляет экстремум функционалу (1) и удовлетворяет условиям связи (3), то существуют такие множители, что функцияудовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа для функционала (4).

Доказательство

Первая вариация функционала (1):

Здесь . Это допустимые приращения функции, удовлетворяющей граничным условиям:

Интегрируя по частям выражение для первой вариации и учитывая граничные условия для переменной , будем иметь:

Функции удовлетворяют уравнениям связи, поэтому приращениене является независимым, и применять лемму Лагранжа для определения необходимого условия экстремума нельзя.

Для определения зависимости между приращениями разложим левую часть равенств:

в ряд Тейлора, ограничившись членами первого порядка малости относительно .

Учитывая, что:

получаем:

(6)

Эти равенства представляют собой систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно . По условию, ранг матрицы.

Поэтому, можно выделить свободных неизвестных. Это независимые, в отличие от основных неизвестных, которые при решении системы (6) выражаются через свободные неизвестные. Умножим почленно каждое уравнение системы (6) на, проинтегрируем пов пределах отдои сложим полученное равенство с выражением для вариации функционала.

Принимая во внимание необходимое условие экстремума:

Выделим так, чтобы первыеслагаемых в подынтегральной сумме обратились в нуль:

(7)

Равенство (7) можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно . Определитель системыпо предположению отличен от нуля. Поэтому системаимеет единственное решение.

При таком выборе необходимо условие экстремума принимает вид:

Здесь будут независимыми. Поэтому в силу леммы Лагранжа:

(8)

Из уравнений (7) и (8) следует, что функции , доставляющие экстремум функционалу (1) удовлетворяют уравнениям Эйлера-Лагранжа для вспомогательного функционала (4).

Задача Чаплыгина

Определить замкнутую кривую, по которой должен двигаться центр масс летательного аппарата, чтобы за время облететь наибольшую площадь, если задана постоянная скорость ветра. Скорость летательного аппарата постоянна и равна. Все выше сказанное иллюстрируется рисунком:

При решении задачи требуется определить максимум для функционала:

(1)

при наличии связей:

(2)

Решение

Составим вспомогательный функционал:

Теперь запишем уравнения Эйлера-Лагранжа:

(3)

Интегрируя первые 2 уравнения (3) находим:

(4)

Постоянные интегрирования равны нулю за счет переноса оси координат.

Найденные значения иподставим во второе уравнение (3):

Из последнего уравнения следует, что можно ввести следующие обозначения:

И тогда получим:

(5)

Теперь проинтегрируем это уравнение и получим:

(6)

Уравнение (6) представляет собой уравнение эллипса, которое можно привести к следующему виду:

Здесь малая полуось определяется следующим образом:

Большая полуось:

Смещение центра эллипса:

Расстояние от центра эллипса до фокуса определяется следующим образом:

Таким образом, искомая траектория представляет собой эллипс, один из фокусов которого расположен в начале координат, а большая ось перпендикулярна направлению ветра.

При этом эксцентриситет эллипса:

Все это показано на рисунке:

Постоянная интегрирования определяется временем полета.