Критерии оптимизации

В зависимости от вида подынтегральной функции функционала:

(1)

могут быть получены различные критерии применяемой проектируемой автоматической системой.

Одним из наиболее распространенных критериев является время переходного процесса объекта управления из заданного начального состояния в конечное состояния. Чтобы получить критерий, нужно положить подынтегральную функцию:

Тогда мы получим следующий критерий оптимизации:

(2)

Другой широко распространенный критерий оптимальности – это квадратичный критерий:

(3)

Здесь:

,и- симметричные матрицы соответствующих размерностей,,;

- символ транспонирования.

Другой функционал:

(4)

Здесь,- это весовые координаты. Эти координаты позволяют учесть расход рабочего тела на управление. Задачи, решение которой минимизировалось в процесс (4), называются задачами САУ по расходу топлива. Такие задачи возникают, например, при управлении космическими аппаратами, когда существенной является экономия расходования горючего на борту аппарата.

Иногда в практике проектирования рассматривается функционал:

(5)

Здесь иудовлетворяют неравенствам.

Этот функционал является комбинацией функционалов (2) и (4) и позволяет учесть как время переходного процесса, так и расход топлива.

Выбор того или иного функционала определяется и техническими показателями и условиями работы проектируемой САУ, а также во многом определяется от интуиции практических навыков проектировщика. К этому относится также и выбор весовых коэффициентов.

Синтез оптимальных систем с помощью вариационного исчисления. Задача Лагранжа

Эта задача на условный экстремум, и нас будет интересовать случай, когда условия представляют собой систему дифференциальных уравнений.

Имеется функционал:

(1)

При этом допустимые кривые , среди которых ищется экстремум функционала, должны удовлетворять граничным условиям:

(2)

И условиям вида:

(3)

При этом . Мы предполагаем, что условия (3) являются независимыми, а это значит, что для всех, которые удовлетворяют условиям (3), справедливо:

Таким образом, функционал (1) рассматривается не на всех допустимых кривых, удовлетворяющих граничным условиям (2), а только на тех кривых, которые удовлетворяют системе уравнений (3). Важно, чтобы условия (2) и (3) были согласованными, то есть начальные и конечные точки должны удовлетворять - мерному многообразию, которая задается системой уравнений (3).

Следует отметить, что граничные условия можно задать следующим образом:

А недостающее условие определяется из уравнений связи (3).

Это задача на условный экстремум называется задачей Лагранжа с голономными связями .

Введем в рассмотрение новый функционал:

(4)

Здесь - функции, подлежащие определению.

Относительно функционала (4) решается задача на безусловный экстремум, при чем подлежащие определению функции и. Система уравнений Эйлера-Лагранжа для функционала (4) принимает вид:

(5)

Система (5) состоит из уравнений, которые совпадают с числом искомых функцийи. Общее решение системы (5) содержитпроизвольных постоянных, для определения которых используются граничные условия (2).

Если кривая доставляет безусловный экстремум функционалу (4), то на ней достигается и условный экстремум функционала (1). В самом деле, если на кривойдостигается безусловный экстремум функционала (4), то эта кривая доставляет экстремум функционалу (5).

Тогда , и если криваядоставляет безусловный экстремум функционалу, то, в частности, она будет доставлять экстремум и в более узком классе кривых, удовлетворяющих уравнениям связи.

Докажем следующую теорему: