Перехідні (часові) характеристики типових динамічних ланок

Якщо початкові умови нульові і вхідний сигнал являє собою одиничний стрибок, то аналітична форма відображення характеру зміни вихідного сигналув часі має назву перехідної функції (її часто позначають як), а графічне зображення перехідної функції має назву перехідної характеристики. Є різні способи отримання перехідної функції.

Самий простий спосіб полягає в використанні оберненого перетворення за Лапласом, результати якого беруться із відповідних таблиць перетворення:

Ще один спосіб полягає в використанні теореми розкладення.

–корені рівняння ,.

В залежності від виду зображення за Лапласом вихідного сигналу необхідно використовувати той чи інший спосіб отримання перехідної функції. Оберненим перетворенням за Лапласом із заздалегідь визначених таблиць користуються, як правило, коли зображення за Лапласом вихідного сигналу нескладне. А теоремою розкладення користуються, як правило, коли зображення за Лапласом вихідного сигналу являє собою поліном другого, третього або більш високого степеня.

Частотні характеристики типових динамічних ланок

Виконавши в функції передачі W(p) заміну оператора Лапласа p на , отримуємо комплексний коефіцієнт передачі:

Маючи на увазі, що амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) являє собою модуль комплексного коефіцієнта передачіW(jω) і дорівнює квадратному кореневі із суми квадратів його уявної та дійсної частин, вона може бути побудована за виразом:

Пам’ятаючи про те, що фазово-частотна характеристика (ФЧХ)є аргумент комплексного коефіцієнта передачіW(jω) і як для будь-якого комплексного числа дорівнює арктангенсу відношення уявної та дійсної частин, то може бути побудована за виразом:

Амплітудно-фазова частотна характеристика будується у комплексній площині за формулою, якою визначається комплексний коефіцієнт передачі одним з двох способів: маючи значенняі, або маючи значенняі.

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) здебільшого будується спрощеним способом не як точна, а наближена. Таку характеристику називають асимптотичною ЛАЧХ.

Алгоритм побудови асимптотичної ЛАЧХ полягає в наступному. Спочатку знаходять розташування вихідної точки А. Для цього потрібно в вибраній системі координат при ω=1 встановити перпендикуляр до осі абсцис, на якому відкласти відрізок ОА = 20 lg K, де K – коефіцієнт передачі ланки. Через точку А треба провести пряму лінію з відповідним кутом нахилу: для простої ланки 0 дВ/дек; для диференціюючої ланки + 20 дВ/дек; для інтегруючої ланки –20 дВ/дек. Проведена пряма лінія являє собою ЛАЧХ для низьких частот, яка при певних значеннях частот змінює кут нахилу. Ці частоти , де Т_і – сталі часу поліномів (Т_ір+1). При тому, якщо відповідний поліном знаходиться у чисельнику функції передачі (для ланок з введенням похідної), то кут нахилу збільшується на 20 дВ/дек, якщо ж поліном знаходиться у знаменнику (для аперіодичних ланок 1 – го порядку), кут нахилу зменшується на 20 дВ/дек. У коливальної ланки в знаменникуфункції передачі знаходиться поліном 2 – го порядку (Т²р² + 2dTp+ 1), тому при частоті для цієї ланки кут нахилу вищезгаданої прямої требазменшити на 40 дВ/дек.

Проста ідеальна ланка

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі простої ідеальної ланки:

Зображення за Лапласом вхідного сигналу (одиничного стрибка) :

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Оригінал вихідного сигналу (перехідну функцію ) можна знайти, користуючись оберненим перетворенням за Лапласом із заздалегідь визначених таблиць:

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона являє собою пряму лінію, яка розташована паралельно осі абсцис на відстані K від неї.

Виконавши замінуp на , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

Амплітудно-частотна характеристика може бути побудована за виразом:

Фазово-частотну характеристику можна побудувати за виразом:

Амплітудно-фазова частотна характеристика будується у комплексній площині за формулою, якою визначається комплексний коефіцієнт передачі одним з двох способів: маючи значенняі, або маючи значенняі.

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Амплітудно-частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика

Амплітудно-фазова частотна характеристика

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ)

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) описується виразом: L(ω) = 20lgK, являє собою горизонтальну пряму лінію, яка зміщена відносно осі абсцис на величину 20lgK.

 Ідеальна інтегруюча ланка

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі ідеальної інтегруючої ланки:

Зображення за Лапласом вхідного сигналу :

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Перехідну функцію можна знайти, користуючись оберненим перетворенням за Лапласом із заздалегідь визначених таблиць:

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона являє собою пряму лінію, яка виходить з початку координат і розташована під кутом до осі абсцис.

Виконавши заміну p на , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

Амплітудно-частотна характеристика може бути побудована за виразом

Фазово-частотну характеристику можна побудувати за виразом:

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Амплітудно-частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика

Амплітудно-фазова частотна характеристика

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) інтегруючої ланки описується виразом L(ω) = 20lgK-20lgω, являє собою пряму лінію, яка проходить через точку А[0; 20lgK] під кутом -20 дВ/дек.

Проста аперіодична ланка 1 – го порядку

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі простої аперіодичної ланки:

Зображення за Лапласом вхідного сигналу :

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

(0)

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись теоремою розкладення в випадку однократного нульового полюса:

(0)

Отже, перехідна функція має вигляд

(0)

Перехідна характеристика зображена на рисунку 3.

При перехідна характеристика досягає приблизно63,2 % від значення K, при приблизно86,5 %, при приблизно95,0 %, при приблизно98,2 %.

Виконавши заміну p на , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

Амплітудно-частотна характеристика може бути побудована за виразом:

Фазово-частотна характеристика може бути побудована за виразом:

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Амплітудно-частотна характеристика Фазова-частотна характеристика

Амплітудно-фазова частотна характеристика

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ)

За формою АФЧХ простої аперіодичної ланки являє собою півколо радіусом, який дорівнює К/2.

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) простої аперіодичної ланки 1 –го порядку описується виразом L(ω) = 20lgK-20lg, являє собою ламану лінію, яка проходить горизонтально через точку А[0; 20lgK], а при чаcтоті змінює кут нахилу на -20 дВ/дек.

Аперіодична диференціююча ланка

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі аперіодичної диференціюючої ланки:

Зображення за Лапласом вхідного сигналу :

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись теоремою розкладення в випадку простих полюсів:

Отже, перехідна функція має вигляд

Перехідна характеристика зображена на рисунку.

При перехідна характеристика досягає приблизно36,8 % від значення , при-13,5 %, при -5,0 %, при - 1,8 %.

Виконавши заміну p на , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

Амплітудно-частотна характеристика може бути побудована за виразом:

Фазово-частотна характеристика може бути побудована за виразом:

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Амплітудно-частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика

Амплітудно-фазова частотна характеристика

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ)

Як і для АФЧХ простої аперіодичної ланки, амплітудно-фазова частотна характеристика аперіодичної диференціюючої ланки за формою являє собою півколо, але з радіусом, який дорівнює К/2Т.

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) аперіодичної диференціюючої ланки описується виразом L(ω) = 20lgKω-20lg, являє собою ламану лінію, яка проходить через точку А[0; 20lgK] під кутом +20 дВ/дек , при чаcтоті зменшує кут нахилу на 20 дВ/дек і надалі стає горизонтальною.

Аперіодична інтегруюча ланка

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі аперіодичної інтегруючої ланки:

Зображення за Лапласом вхідного сигналу :

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, виходячи з наступних міркувань. Судячи з наведеного виразу функції передачі для даної ланки, її вихідний сигнал дорівнює інтегралу вихідного сигналу простої аперіодичної ланки при одиночному стрибкоподібному сигналі на вході, тобто:

де С – стала інтегрування, яка визначається початковими умовами.

При t= 0h(t) = 0, тому С = - KT. Таким чином

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона наближається до прямої лінії, яка зміщена відносно початку координат на відстань Tі іде під кутом до осі абсцис.

Амплітудно-частотна характеристика :

Фазово-частотна характеристика :

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

)

Амплітудно-частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика

Амплітудно-фазова частотна характеристика

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ)

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) аперіодичної інтегруючої ланки описується виразом L(ω) = 20lgK-20lgω-20lg, являє собою ламану лінію, яка проходить через точку А[0; 20lgK] під кутом -20 дВ/дек , при частоті зменшує кут нахилу ще на 20 дВ/дек і при високих частотах має кут нахилу -40 дВ/дек

Проста аперіодична ланка другого порядку

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі простої аперіодичної ланки 2 – го порядку:

В наведених формулах для цієї ланки показник затухання . При таких умовах корені характеристичного рівняння Т²р²+2dТр+1=0 мають дійсний характер, саме тому поліном 2 – го порядку лівої частини рівняння динаміки може бути представлений у вигляді добутку двох двочленів, тобто:

,

де Т₁ і Т₂ – сталі часу, а р₁ і р₂ – корені характеристичного рівняння:

.

Отже, функція передачі цієї ланки може бути записана так:

Зображення за Лапласом вхідного сигналу :

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись теоремою розкладення в випадку однократного нульового полюса (для коливальної ланки необхідно виконання умови ):

Користуючись теоремою розкладення, можна визначити перехідну функцію простої аперіодичної ланки 2 – го порядку:

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона нагадує вигляд перехідної характеристики простої аперіодичної ланки першого порядку з деякою відмінністю, яка полягає у тому , що максимум швидкості монотонного наростання сигналу припадає не на нульовий момент часу, а через деякий інтервал.

Виконавши заміну p на , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

Амплітудно-частотна характеристика :

Фазово-частотна характеристика :

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Амплітудно-частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика

Амплітудно-фазова частотна характеристика

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ)

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) цієї ланки описується виразом

L(ω) = 20lgK-20lg-20lg, являє собою ламану лінію, яка горизонтально перетинає точку А[0; 20lgK]. Якщо Т₂>Т₁, то ω_2з<ω_1з, тому ЛАЧХL(ω) змінює кут нахилу на -20 дВ/дек спочатку при частоті , а потім ще раз зменшує кут нахилу на-20 дВ/дек при частоті. На високих частотах кут нахилу залишається -40 дВ/дек.

Проста коливальна ланка

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі простої коливальної ланки:

Зображення за Лапласом вхідного сигналу :

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись теоремою розкладення в випадку однократного нульового полюса (для коливальної ланки необхідно виконання умови ):

Перехідна функція має вигляд

Після необхідних математичних спрощень отримаємо остаточний вигляд перехідної функції:

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона має явно виражений коливальний характер і наближається в усталеному режимі до значення K.

Виконавши заміну p на , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

Амплітудно-частотна характеристика :

Фазово-частотна характеристика :

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Амплітудно-частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика

Амплітудно-фазова частотна характеристика

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ)

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) простої коливальної ланки описується виразом L(ω) = 20lgK-20lg, являє собою ламану лінію, яка горизонтально проходить через точку А[0; 20lgK], а при частоті змінює кут нахилу зразу на -40 дВ/дек і при високих частотах має кут нахилу -40 дВ/дек.

Ланка чистого запізнення

Рівняння динаміки і функція передачі ланки чистого запізнення в операційній формі мають вигляд (де  – час чистого запізнення):

Зображення за Лапласом вхідного сигналу :

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись оберненим перетворенням за Лапласом із заздалегідь визначених таблиць:

Перехідна характеристика зображена на рисунку.

Виконавши заміну p на , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі (користуючись формулою Ейлера):

Амплітудно-частотна характеристика :

Фазово-частотна характеристика :

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Амплітудно-частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика

Амплітудно-фазова частотна характеристика

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ)

Амплітудно-фазова частотна характеристика ланки чистого запізнення являє собою коло одиничного радіуса.

Оскільки А(ω)=1, то логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) ланки чистого запізнення L(ω) = 0 і являє собою пряму лінію, яка співпадає з віссю абсцис.