Лекция № 6. Понятие управляемости и наблюдаемости

Постановка и решение задачи оптимального управления для конкретного объекта имеет смысл только в том случае, если существует принципиальная возможность перевода его из заданного начального состояния в требуемое конечное состояние за ограниченное время с использованием допустимого управления. Определение возможности такого перевода составляет содержание понятия управляемости, которое впервые было введено Р. Калманом.

Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую уравнением

(1) ,

где

- n - мерный вектор системы

- m - мерный вектор управления

A и B - постоянные матрицы порядка и соответственно.

Стационарная система, описываемая уравнением (1), называется управляемой, если для любых состояний и существует ограниченное измеримое управление U(t), заданное на конечном интервале , такое, что соответствующая траектория X(t) удовлетворяет условиям и .

Критерий полной управляемости системы (1), предложенный Р. Калманом, имеет простую и компактную форму. Пусть заданы матрицы A и B системы. Составим матрицу размером , в которой первые m столбцов совпадают со столбцами матрицы B, вторые m столбцов совпадают со столбцами матрицы AB и т. д., а последние m столбцов есть столбцы матрицы . Матрицу записывают так:

(2) .

Управляемость линейной стационарной системы связывается со свойствами матрицы в виде следующего утверждения.

Для того, чтобы линейная стационарная система (1) была полностью управляемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости был равен n, т.е.

(3) .

Если вместо матрицы B в правой части уравнения (1) стоит матрица-столбец , т.е. m=1 и управление является скалярной функцией времени, то для полной управляемости системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

(4) ,

имеющей размерность , был равен n, т.е.. Для полной управляемости системы в этом случае требуется, чтобы определитель матрицы не равнялся нулю, т.е. .

Если матрица A диагональна и все диагональные элементы ее различные, то система полностью управляема при условии, что матрица B не содержит нулевых строк.

Таким образом, свойство управляемости системы полностью определяется алгебраическими свойствами пары матриц {A,B}. Поэтому понятие управляемости часто относят к эти матрицам и говорят, что пара {A,B}вполне управляема или неуправляема.

Заметим, что критерий полной управляемости системы (1) никоим образом не связан с устойчивостью системы. Неустойчивая система может быть полностью управляемой и, наоборот, устойчивая система - неуправляемой. Полня управляемость означает возможность стабилизации системы, т.е. возможность построения устойчивой замкнутой системы путем присоединения соответствующего регулятора.

В случае нелинейных систем и при наличии ограничений на управление U(t) свойство управляемости может выполнятся не во всем фазовом пространстве, а критерии управляемости включают некоторые дополнительные условия. В частности доказано, что система (1), в которой на управление наложены ограничения вида

вполне управляема относительно начала координат во всем фазовом пространстве, если она при отсутствии ограничений вполне управляема и матрица A устойчива, т.е. корни уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Рассмотрим далее понятие наблюдаемости. Чтобы управлять объектом, необходимо иметь информацию о его текущем состоянии, т.е. знать значение переменных состояния в каждый момент времени. Однако некоторые из переменных , являясь абстрактными переменными, которые вводятся для удобства и полноты описания объекта, не имеют физического аналога в реальном объекте и поэтому не могут быть измерены. Не могут быть измерены и производные высокого порядка, используемые в качестве координат состояния. Измеряются в реальном объекте некоторые переменные , которые образуют вектор Y выходных координат. Вектор Y связан определенной зависимостью с вектором состояния X. Следовательно, возникает задача восстановления текущих значений переменных состояния по результатам наблюдения за выходными переменными системы на конечном интервале времени, а также задача определения условий, при которых такое восстановление возможно. Решение этих задач и составляет содержание проблемы наблюдаемости.

Рассмотрим линейную стационарную систему

(5)

где

X - n - мерный вектор состояния;

U - m - мерный вектор управления;

Y - r - мерный вектор выхода, компоненты которого представляют собой реальные выходные координаты объекта;

C,D - постоянные матрицы размерностью и соответственно.

Состояние системы (5) называется полностью наблюдаемым, если можно однозначно определить по данным измерений Y(t) и U(t) на конечном интервале времени . Система (5) называется полностью наблюдаемой, если наблюдаемы все ее состояния в любые моменты времени.

Условия наблюдаемости линейной стационарной системы (5) формулируются на основе алгебраических свойств пары матриц {A,C}.

Для того, чтобы линейная стационарная система (5) была полностью наблюдаема, необходимо и достаточно, чтобы матрица

(6)

имела ранг, равный n. Если это условие не выполняется (ранг ), то система не вполне наблюдаема. Если матрица A диагональная и все диагональные элементы ее различны, то система полностью наблюдаема при условии, что матрица C не содержит нулевых столбцов.

Наиболее легко судить об управляемости и наблюдаемости объекта, если его математическая модель представлена в канонической форме.

Для примера рассмотрим математическую модель одномерного объекта в виде канонических уравнений состояния:

- в скалярной форме

- в векторной форме

Из этих уравнений видно, что выход объекта U(t) не оказывает влияния на переменныеи . Поэтому переменные и не управляемы.

Управляемыми являются только переменные состояния и .

Переменные и не участвуют в формировании выхода Y(t). Косвенно, через переменные и , они также не влияют на выход Y(t). Поэтому переменные и не наблюдаемы на выходе, а наблюдаемыми являются только переменные состояния и .

Очевидно, что и управляемой и наблюдаемой переменной состояния является :

Этот пример показывает, что в общем случае математическая модель объекта может иметь четыре части:

1) управляемую, но не наблюдаемую часть; 2) полностью управляемую и наблюдаемую часть; 3) неуправляемую и ненаблюдаемую часть; 4) неуправляемую, но наблюдаемую часть.

Рассмотрим два случая:

а) случай неполной управляемости, но полной наблюдаемости.

На приведенной ниже схеме видно, что на часть координат не влияют входные воздействия , ни другие переменные . В данном случае часть 2 системы является неуправляемой, но наблюдаемой.

б) случай неполной наблюдаемости системы, но полной управляемости

Как видно, здесь можно найти такую систему координат, что часть из них X(2) не влияет на выходные переменные ни непосредственно, ни через другие переменные состояния X(1). В данной схеме часть 2 системы является управляемой, но не наблюдаемой.

Для определения управляемости и наблюдаемости линейных систем с обратной связью, разделяющихся на две линейные подсистемы (неизменяемая часть - объект и регулятор ),очень удобна теорема Гилберта.

Пусть линейные подсистемы и образуют систему с обратной связью согласно приведенной структурной схемы. Пусть последовательное соединение представляет собой полностью управляемую и наблюдаемую систему, а последовательное соединение неуправляемую, но полностью наблюдаемую систему. Тогда:

1) порядок системы n равен сумме порядков и , т.е. ; 2) необходимым и достаточным условием управляемости (наблюдаемости) системы с обратной связью является управляемость (наблюдаемость) ; 3) необходимым, но недостаточным условием управляемости (наблюдаемости) системы с обратной связью является управляемость (наблюдаемость) и и ; 4) если и управляемы (наблюдаемы), то любые из неуправляемых (ненаблюдаемых) координат системы с обратной связью являются неуправляемыми (ненаблюдаемыми) координатами и порождаются .

Важность данной теоремы состоит в том, что управляемость и наблюдаемость могут устанавливаться на основе исследования отдельных разомкнутых подсистем.

В случае линейных систем свойство управляемости не зависит от конкретной области в пространстве состояний.

В случае нелинейных систем и при наличии ограничений модуля вектора управления U(t) управляемость зависит от начального состояния системы и от значения составляющих вектора управления.

Рассмотренные выше понятия управляемости и наблюдаемости представляют большой интерес при синтезе оптимальных систем.

Видимо, нецелесообразно решать задачу синтеза оптимальной системы по тем координатам управления , относительно которых модель неуправляема.

С практической точки зрения наблюдаемыми переменными будут те, которые можно непосредственно измерить. Если какая-либо переменная является функцией физически наблюдаемых переменных и времени, но для ее вычисления требуются сложные вычислительные устройства, то ее считают практически наблюдаемой, хотя она по теории Калмана. Наблюдаемые на практике переменные - это те переменные, которые можно и измерять непосредственно, не используя связи, выраженные в уравнениях объекта. Этот вывод важен при решении задачи реализации закона оптимального управления.