Лекция № 2. Характеристики элементов системы в динамическом режиме.
Динамическим называется режим работы элемента систем:.!, при котором входная и выходная величины его изменяются во времени.
Так как динамический режим возникает в результате перехода элемента от одного установившегося состояния к другому, то его часто называют переходным режимом, а процесс; перехода от одного установившегося состояния к другому - переходным процессом.
Зависимость выходной величины от изменяющейся во времени входной величины называют динамической характеристикой.
Все динамические характеристики можно разделить на две группы.
К первой группе относятся зависимости выходной величины элемента системы автоматики от времени, если входная величина изменяется по типовому закону (скажем, импульсом, линейно и т.п. ) - это так называемые временные характеристики, вторую группу динамических характеристик составляют частотные характеристик, к ним относятся зависимости выходной величины или ее параметров от частоты входной величины, изменяющейся по гармоническому закону.
Временные характеристики элемента системы.
Из временных характеристик наиболее часто встречаются переходные характеристики:
Зависимость выходной величины элемента системы автоматики от времени, если входная величина изменилась на единый скачок, называют переходной характеристикой.
Величина изменяется скачком, если в момент времени t = 0 она изменяется на некоторое значение A = const и далее остается постоянной.
Аналитически это можно записать так:
(2.20)
Графически такая функция времени показана ниже
Скачкообразное изменение величины при t = 0 приняло обозначать Х = А (t)
Если величина скачка равна единице, то такой скачок называют единичным и обозначают
Х=f (t)
Если единичный скачок приходит не в начальный момент времени, а с запаздыванием на tсекто скачкообразная функция времени имеет вид
Такое изменение величины записывается следующие образом:
(2.21)
Таким образом, переходная характеристика - это реакция элемента системы на единичное ступенчатое изменение входной величины. Переходная характеристика может быть задана аналитически в виде системы уравнений,
Таблично и графически, как это представлено на рисунке
Оценка переходной характеристики производится с помощью следующих показателей:
а. Характер зависимости:
По характеру зависимости переходные характеристики делятся на монотонные и колебательные. Переходные характеристики считаются монотонной, если они имеют не более одного экстремума.
или
В противном случае переходную характеристику относят к колебательной или немонотонной.
или
б. Время переходного процесса
Время, в течении которого выходная величина после начала изменения входной достигает нового установившегося значения, называют временем переходного процесса. Однако теоретически это время стремиться к бесконечности. Поэтому за время переходного процесса принимают время после начала изменения входной величины, за которое выходная величина достигает нового установившегося значения с заданной степенью точности tпп. Степень точности задается заранее и обычно не превышает 3-5% от нового установившегося значения. При этом нетрудно заметить. что степень точности D соответствует статической ошибке.
в. Динамическая ошибка.
Динамическая ошибка - это разность между
действительным значением выходной
величины
данный
момент
и
её новым установившемся значением
,
т.е
(2.23)
Очевидно, что динамическая ошибка представляет собой функцию времени. Максимальную положительную относительную ошибку за время переходного процесса называют выбросом. Выброс определяется формулой
(2.24)
здесь s - выброс / см. рис.
-
максимальное значение
-
новое установившееся значение выходной
величины
г. Колебательность.
Колебательность - количество полных колебаний за время переходного процесса. Колебательность может характеризоваться частотой или периодом колебаний выходной величины,
Другой не менее распространенной
временной характеристикой является
импульсная характеристика. Её также
называют импульсной переходной
характеристикой или функцией веса и
обозначают
Импульсная характеристика - зависимость выходной величины от времени, если входная величина изменилась на единичный идеальный импульс.
Для получения импульсной характеристики используют импульсы прямоугольной формы.
Такой импульс аналитически выражается так
при этом
где h- - высота или амплитуда импульса
t - продолжительность импульса.
Произведение ht часто называют величиной
импульса. Если величина импульса равна
единице, то импульс называют единичным.
Если
,
то импульс называет идеальным.
Т.0., единичный идеальный импульс /его
ещё называют дельта функцией / обозначаемый
,
аналитически можно записать так
при этом
Т.о., импульсная характеристика - это реакция элемента автоматической системы на идеальное единичное импульсное изменение входной величины Она может быть задана аналитически в виде системы уравнений.
Таблично и графически, как это представлено на рисунке
Оценка импульсной характеристики производится теми же показателями, что и переходной.
Так как идеальный импульс представляет собой производную скачка, т.е..
то нетрудно показать, что импульсная характеристика есть производная переходной, т.е.
Частотные характеристики
Если на вход линейного элемента автоматической системы подать сигнал, изменяющийся по гармоническому закону, т.е.
где
-
амплитуда гармонического сигнала
w - частота сигнала
то на выходе элемента в установившемся
режиме величина будет изменяться по
гармоническому закону с той же частотой,
но с амплитудой а и фазой
Таким образом, на выходе элемента величина будет равна
Отношение выходной гармонической
величины к входной в установившемся
режиме при определенной частоте
,
т.е.
называют комплексный коэффициентом передачи элемента.
Если изменять частоту входной величины, то это отношение станет функцией частоты и её называют частотой передачи или амплитудно- фазовой частотной характеристикой (АФХ).
АФХ аналитически может быть записана так:
(2.32)
где
-
относительная амплитуда
-
угол сдвига фаз между выходной и входной
величинами
АФХ графически может быть представлена либо как годограф вектора
либо как график функции комплексном переменной
что показано на рис. 2.12.
Таким образом, АФХ представляет собой зависимость относительной амплитуды и угла сдвига фаз выходной величины от частоты входной величины изменяющейся по гармоническому закону, в установившееся режиме.
АФХ наиболее общая частотная характеристика, из которой могут быть получены другие частотные характеристики: амплитудная, фазовая, вещественная и мнимая.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - зависимость относительной амплитуды выходной величины от частоты входной величины, изменяющейся по гармоническому закону, в установившемся режиме.
Аналитическое выражение может быть представлено
Графически она представлена на рисунке 2.13
рис. 2.12
рис. 2.13.
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - зависимость угла сдвига фаз выходной и входной величины от частоты входной величины, изменяющейся по гармоническому закону в установившееся режиме. Аналитически ФЧХ записывается в виде:
Графически она представлена на рисунке.
Если АФХ задана аналитически в виде
то аналитически ФЧХ определяется как
Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) - зависимость вещественной части АФХ частоты входной величины, изменяющейся по гармоническому закону. Аналитически ВЧХ может быть представлена выражением
Графически она представлена на рисунке.
Мнимая частотная характеристика (МЧХ) - зависимость мнимой части АФХ от частоты входной величины, изменяющейся по гармоническому закону. Аналитически ВЧХ может быть представлена в виде:
А графически она представлена на рисунке.
Логарифмическая частотная характеристика.
В практике автоматики широкое применение находят логарифмические частотные характеристики, т.е. частотные характеристики в логарифмических масштабах. Применений логарифмического масштаба позволяет, во-первых, наглядно изобразить характеристики в очень большом диапазоне частот; во-вторых, представить характеристики отрезками ломаной линии; в-третьих, определить характеристики сложной системы простым суммированием характеристик, входящим в эту систему элементов.
Частота в логарифмическом масштабе измеряется в октавах или декадах.
Две частоты
и
отличаются
на одну октаву, если
Две частоты
и
отличаются
на одну декаду если
или
Относительные амплитуды в логарифмическом масштабе выражаются в децибелах.
Две мощности
и
отличаются
друг от друга на 1 Бел, если
или
Однако Белл - единица крупная, поэтому чаще пользуются децибелом.
Две мощности
и
отличаются
на один децибел, если
Так как мощности относятся как квадраты образующих их первообразных ( напряжений, токов, сил и т.д.), т.е.
то две первообразные
и
будут
отличаться на один децибел, если
или окончательно
Углы сдвига фаз на логарифмических характеристиках измеряются в градусах или радианах.
Наибольшее распространение в теории автоматического управления получили логарифмическая амплитудная / ЛАX / и фазовая / ЛФХ / частотные характеристики.
Таким образом, ЛАХ - зависимость относительной амплитуды выходной величины от частоты входной величины в логарифмических масштабах.
Если ЛФХ представлена в виде
то аналитическое выражение ЛAX будет иметь вид
Графически ЛАХ в большинстве случаев - кривая, но легко аппроксимируемая ломаной линией, Положение линейных участков в этом случае определяется наклоном этого участка к оси частот. Наклон обычно измеряется в децибелах на декаду и определяется выражением
ЛФХ - зависимость угла сдвига фаз (выходной величины относительно входной) от частоты входной величины в логарифмическом масштабе.
Если АФХ задана в виде
то аналитическое выражение ЛФX будет иметь вид:
Графически ЛФХ может изображаться в двух системах отсчета углов, изображенных ниже
При аппроксимации наклоны линейных участков ЛФХ измеряются на декаду.