Лекция № 4.Понятие передаточной функции.

Понятие передаточная функция связано с операционным исчислением. Под операционным исчислением понимается совокупность методов математического анализа, позволяющих достаточно экономичными средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений. В основе операционного метода лежит преобразование Лапласа

которое устанавливает соответствие между функциями действительной переменной и функциями комплексной переменной.

Функция называется Лапласовым изображением или -L -изображением, или просто изображением функции . Функция называется начальной функцией , или оригиналом. Если есть изображение функции , то пишут так:

или

или

Преобразование Лапласа выполнимо лишь для таких функций, когда выполняется условие

при

а также условие, что функция непрерывна для всех значений либо имеет на любом конечном интервале конечное число точек разрыва первого рода. Кроме того также считается, что функция ограниченный порядок возрастания, т.е. можно указать такие постоянные числа и , при которых выполняется неравенство

Число считается показателем роста функции

В соответствии со сказанным при использовании преобразования Лапласа вместо функций , , будем рассматривать функции

Как мы убедимся в дальнейшем, введение изображения позволит существенно упростить решение многих задач теории управления, и в частности свести решение дифференциальных уравнений к проведению простейших алгебраических операций для нахождения изображения.

В качестве примера определим изображение некоторых функций времени:

а) Пусть требуется найти изображение единичной функции

График этой функции изображен ниже.

Имеем

Таким образом

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти изображение единичного импульса , действующего в течении времени t.

Такой импульс графически можно представить как разность единичного скачка действующего в момент времени и смещенного на величину t.

Имеем

согласно свойству запаздывания

Таким образом

б) Найдем изображение функции

Имеем

Таким образом

Для удобства пользования изображением в любом справочнике по математике имеются таблицы изображений.

Приведем такую таблицу для наиболее встречаемых в теории управления функций.

Некоторые свойства преобразования Лапласа (без доказательства).

1. Линейность преобразования, согласно которого:

Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные равняется сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные, т.о., если

где - постоянные и и

то

2. Свойство подобия. Если , то для любого положительного числа справедливо

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число влечет за собой деление аргумента изображения и самого изображения на тоже самое число. . 3. Изображение производной. Если функция и ее производная являются оригиналами и есть изображение оригинала (т.е. ), то справедливо равенство:

где - начальное значение функции.

Если положить начальное значение , то получим:

т.е. операция дифференцирования оригинала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексное число р .

Если производные высших порядков являются оригиналами, то справедливо следующее равенство:

Подставляя в это уравнение изображения функций и их производных будем иметь при нулевых начальных условиях

или

Полученную формулу уравнения будем называть операторной формой записи ( формально символ - запишем в виде множителя р ).

Здесь

называют выходным или характеристическим многочленом, полиномом, оператором

входным многочленом, оператором, полиномом.

Т.о. уравнение состояния элемента автоматической системы можно записать

Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией

Поэтому изображение уравнения состояния элемента можно записать

Передаточная функция полностью характеризует динамичные свойства элемента и поэтому является важнейшей его характеристикой. Зная ее можно определить процесс изменения выходной координаты при наличии входного воздействия и заданных начальных условиях.

Пример. Требуется определить передаточную функцию генератора постоянного тока, состояние которого описывается уравнением:

примем

тогда изображение уравнения получит вид:

или

откуда передаточная функция определится выражением:

Связь передаточной функции с характеристиками элемента.

Определим связь передаточной функции с временники характеристиками

Пусть задана передаточная функция элемента W(р). Тогда уравнение элемента можно записать как

I. Для получения переходной характеристики на вход элемента , как известно, должен быть подан единичный скачок , изображение которого будет иметь вид:

Т.о., для получения изображения уравнения переходной характеристики в изображение уравнения элемента необходимо сделать подстановку

Тогда получим

Итак, изображение переходной характеристики - есть частное от деления передаточной функции на множитель р.

Исходя из того ,что импульсная характеристика равна производной от переходной характеристики по времени, определим изображение импульсной характеристики.

т.е. изображение импульсной характеристики -» есть передаточная функция.

Переход от изображения временных характеристик к их оригиналам может быть осуществлен с помощью обратного преобразования Лапласа по формуле

где

Однако вычисление этого импульса часто сопряжено с большими затруднениями, поэтому изображение либо преобразуют в удобную для обратного преобразования форму, либо применяют теорему разложения. Эта теорема позволяет установить следующее. Если изображение можно представить в виде рациональной дроби

где - полиномы от р, причем не имеет нулевых корней, а степень полинома не выше степени полинома , то

- корни полинома ;

Если же изображение представляется в виде

то оригинал может быть найден по формуле

Для установления связи передаточной функции с частными характеристиками полагаем, что элемент или система описывается уравнением состояния вида:

Ранее нами было определены АФХ

и передаточная функция

Из сравнения выражений и очевидно, что АФХ представляет собой передаточную функцию, в которой переменная р заменена на переменную jw.

Пример. Определить характеристики генератора постоянного тока, передаточная функция которого

а) Переходная характеристика

Изображение переходной характеристики будет иметь вид

Разложим полученное выражение на сумму простых изображений

или

Приравнивая коэффициенты перед р с одинаковыми степенями получим

, ,

тогда

но т.к. из таблицы изображений

,

б) Импульсная характеристика.

Изображение импульсной характеристики будет иметь вид

но т.к. из таблицы изображений

, то