3.3. Частотные критерии устойчивости

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

3.3.1. Принцип аргумента

Запишем характеристический полином САУ в виде (3.1):

D(p) = a₀(p - p₁)(p - p₂)...(p - p_n) = 0.

Его корни

p_i = α_i + jα_i = |p_i|ejarg(p_i),

где arg(p_i) = arctg(ω_i/a_i) + kπ,

.

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.37,а), тогда разность p - p_i изобразится разностью векторов (рис.3,7,б), где p - любое число.

Рис.3.7

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p – pi будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как p_i - это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотойω, то p = jω, а характеристический полином принимает вид:

D(jω) = a₀(jω - p₁)(jω - p₂)...(jω - p_n).

При этом концы векторов jω - p_i будут находиться на мнимой оси (рис.3.7, в). Если менять ω от – ∞ до +∞, то каждый вектор jω - p_i будет поворачиваться относительно своего начала p_i на угол +π для левых и - π для правых корней (рис.3.7,г).

Характеристический полином можно представить в виде

D(jω) = |D(jω)|ejarg(D(jω)),

где |D(jω)| = a₀|jω - p₁||jω - p₂|...|jω - p_n|,

arg(D(jω)) = arg(jω - p₁) + arg(jω - p₂) + .. + arg(jω - p_n).

 

Пусть из n корней m – правые, а n- m – левые, тогда угол поворота вектора D(jω) при изменении ω от -∞ до +∞ равен

,

(3.5)

или при изменении ω от 0 до +∞ получаем

. (3.6)

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора D(jω) при изменении частоты ω от - ∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней характеристического уравнения, умноженному на π, а при изменении частоты ω от 0 до +∞ эта разность умножается на π/2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основу всех частотных критериев устойчивости.

3.3.2. Критерий устойчивости Михайлова

Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Знаменатель передаточной функции системы в общем случае можно представить выражением:

.(3.7)

Уравнение (3.7) является комплексным и может быть представлено в виде:

(3.8)

где

, (3.9),

. (3.10)

вещественная и мнимая функции Михайлова соответственно.

Построение годографа производится по уравнению вектора D(j) при изменении часты от 0 до .

Так как для устойчивой САУ число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(jω) составит

. (3.11

То есть САУ будет устойчива, если вектор D(jω) при изменении частоты ω от 0 до + ∞ повернется на угол nπ/2.

При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси, так как D(0) = a_n, и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность в n - ом квадранте (рис.3.8, а). Причем n определяется порядком полинома характеристического уравнения САУ.

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.3.8, б), то такая САУ неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие критерия Михайлова.

Рис.3.8

К достоинствам этого критерия нужно отнести его наглядность. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.