2.10. Структурные модели сар

В данном вопросе рассматривается аналитическая форма представления динамических САР и материализация математических понятий и аналитических приемов в виде структурных математических модулей. Это положение в значительной степени упрощает процесс технической реализации как модулей, так и реальных элементов и систем.

Допустим, что САР содержит один вход X(t), один выход Y(t), и имеет передаточную функцию следующего вида:

(2.30)

Запишем уравнение в операторном виде, связывающее входные и выходные сигналы и соответствующее заданной передаточной функции:

(2.31)

Выразим уравнение (2.31) относительно старшей степени р

(2.32)

Входной сигнал Y(t) можно получить путем последовательного интегрирования старшей производной рⁿу(t). Для этого потребуется n последовательно включенных интеграторов, сигналы на входах которых представляют собой производные от pⁿy(t) до py(t) (рис.2.41).

Рис. 2.41

Согласно уравнению (2.32) очевидно, что старшая производная рⁿy(t) равна переменной b_mx(t) минус сумма выходных сигналов интеграторов, умноженных на коэффициенты а₁, а₂ ... а_n. Тогда получим структурную модель, представленную на рис. 2.42.

Рис.2.42

Введем обозначения Z₁(t)=y(t), Z₂(t)=py(t)…Z_n(t)=p_n-1y(t) и уравнение n-го порядка (2.32) запишем в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка:

(2.33)

Система уравнений (2.33) является одной из форм представления динамических процессов структурной модели, изображенной на рис. 2.41.

В матричной форме система уравнений (2.33) имеет вид:

(2.34)

В сокращенном виде матричная форма записывается следующим образом:

, (2.35)

где – n-мерный вектор состояния; A – квадратная матрица размером n  n;  – – вектор-столбец управления.

Структурная математическая модель динамических процессов САР обладает рядом преимуществ перед аналитическими описаниями или передаточными функциями. Во-первых, структурная модель дает ясное и наглядное представление понятию «состояние системы», как совокупность сигналов на выходах интеграторов. Во-вторых, однозначно представляется структура взаимодействий между переменными в виде системы с обратными связями, которые и определяют протекание динамических процессов. Одновременно структурные модели оказывают помощь при моделировании САР на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.

Контрольные вопросы и задания

1. Статический режим и статические характеристики САУ.

2. Статические и астатические звенья САУ.

3. Что называется статической ошибкой регулирования?

4. Назовите достоинства и недостатки статического и астатического регулирования?

5. Какой режим работы САУ называется динамическим?

6. Основной метод исследования динамического режима работы САУ?

7. Что называется регулированием?

8. Назовите возможные виды переходных процессов в САУ. Какие из них являются допустимыми для нормальной работы САУ?

9. Что называется уравнением динамики? Каков его вид?

10. Что называется передаточной функцией системы?

11. Частотные характеристики САУ.

12. Временные характеристики.

13. Какой сигнал называется единичным ступенчатым воздействием?

14. Что называют единичным импульсным воздействием?

15. Элементарные звенья САУ. Их основные свойства.

16. Что называется структурной схемой САУ?

17. Правила преобразования структурных схем.

18. В чем особенности преобразования многоконтурных структурных схем САУ?

19. Частотные характеристики последовательно соединенных звеньев.

20. Какова цель получения структурных моделей САР?

3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Понятие устойчивости системы.

УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ САУ

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САУ. Устойчивость системы связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия.

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Рис.3.1

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.3.1). Говорят, что система устойчива «в малом», если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива «в большом», когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

y(t) = y_вын(t) + y_св(t).

Здесь y_св(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

a_oрⁿ + a₁р^n-1 + ... + a_n = 0.

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. y_вын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

М ожно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис.3.2). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей y_вын = y(t)→∞. Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P₀ sin(ωt +φ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть y_вын = y_maxsin(ωt +φ).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t→∞. Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где p_i – корни характеристического уравнения D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + a_n = 0. Корни могут быть либо вещественными – p_i = a_i, либо комплексно сопряженными – p_i = a_i ± jω_i. Постоянные интегрирования А_i определяют, исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t→∞.

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая y_св(t)_i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует y_св(t)_i = const (рис.3.3).

Рис.3.3

Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой ω_i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.3.4).

Рис.3.4

Так как после снятия возмущения y_вын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей y_св(t). Поэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются «левыми», с положительными – «правыми» (рис.3.5). Условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим

о бразом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были «левыми». Если хотя бы один корень «правый», то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где a_n = 0), а остальные «левые», то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Но такой вот прямой способ определения устойчивости систем весьма неудобен, поскольку задача нахождения корней характеристического уравнения усложняется по мере возрастания степени полинома. Для уравнений высоких порядков возникает необходимость применения машинных методов анализа. Сложность задачи определения устойчивости несколько скрашивается тем обстоятельством, что нам не нужно находить численные значения корней, а достаточно узнать какой знак имеет вещественная часть корня.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические, основанные на составлении с помощью определенных правил алгебраических выражений по данному характеристическому уравнению, по которым и судят об устойчивости САУ, и частотные, основанные на исследовании частотных характеристик.