9. Норма линейного оператора.
Множество
линейных операторов является линейным
пространством. В этом линейном пространстве
норму можно ввести произвольным образом,
лишь бы выполнялись аксиомы нормы (см.
тему 4). Но если в
и
введены нормы
и
,
то норма оператора должна быть согласована
с ними.
Определение.
Норма
оператора
называется согласованной с нормами
и
,
если
для всех
.
Из всевозможных
норм оператора, согласованных с векторными
нормами
и
,
мы сейчас выберем наименьшую. Если
и
– конечномерные линейные пространства,
, то
– ограниченный оператор: существует
такое число
,
что
для всех
.
Тогда для любого
выполнено неравенство
,
т.е. множество чисел
ограничено сверху, и, следовательно,
существует его конечная точная верхняя
грань:
.
Теорема
13.
является нормой в пространстве
.
(Докажите самостоятельно, проверив выполнение аксиом нормы.)
называется подчиненной нормой
оператора
.
В дальнейшем под нормой
оператора
будем понимать именно его подчиненную
норму:
.
Подчиненная норма
оператора обладает следующими свойствами.
Свойство
1. Для любого
выполнено неравенство
.
Доказательство
следует из того, что для любого
.
Тем самым,
подчиненная норма оператора является
одной из норм, согласованных с
и
.
Свойство 2. Подчиненная норма является наименьшей из всех согласованных норм.
Доказательство
следует из того, что подчиненная норма
является точной верхней гранью
множества чисел
,
тогда как любая другая согласованная
норма – лишь одна из верхних граней
этого множества.
Таким образом, подчиненную
норму оператора можно определить еще
одним способом:
.
Именно это свойство и оправдывает выбор
подчиненной нормы в качестве нормы в
пространстве
:
в неравенствах
мы выбрали наилучшую постоянную
.
Свойство
3. Пусть
,
.
Тогда
,
где
,
,
.
Доказательство.
.
Свойство
4. Подчиненная норма тождественного
оператора
равна 1.
Доказательство.
Для любого
.
Поэтому
.
Если в
выбрана норма (не обязательно подчиненная),
удовлетворяющая условию
для любых операторов
и
,
то для тождественного оператора
можно утверждать лишь, что
(докажите).
Утверждение.
Пусть
– невырожденный оператор. Если операторная
норма удовлетворяет условию
для любых операторов
,
,
то
.
(Докажите самостоятельно.)
Если в пространствах
и
выбраны какие-либо базисы, то каждому
оператору соответствует некоторая
матрица. Естественно назвать нормой
матрицы числовую функцию
,
которая удовлетворяет следующим
требованиям:
1.
,
если матрица
;
;
2.
;
3.
;
4.
– для любых матриц
и любого числа
(
означает нулевую матрицу; предполагается,
что сумма
и произведение
имеют смысл). Как и выше, из всех матричных
норм, согласованных с векторными нормами,
можно выбрать подчиненную матричную
норму.