4. Ядро и образ линейного оператора.

Оператор , вообще говоря, не является взаимно однозначным отображением. Поэтому для изучения его свойств желательно выделить в пространстве те множества , которые оператор отображает на взаимно однозначно. С этой целью введем множество , которое называется ядром оператора , и напомним, что образом (областью значений) оператора называется множество

.

Теорема 6. Пусть . Тогда является линейным подпространством пространства , является линейным подпространством пространства , , .

Доказательство. Докажем, что является подпространством в . Пусть и , т.е. и . Тогда для любых чисел , т.е. . Это и значит, что – подпространство в .

Докажем, что является подпространством в . Пусть и , где и . Тогда для любых чисел является образом элемента при линейном отображении . Это и значит, что – подпространство в .

Разложим линейное пространство в прямую сумму , где – любое дополнительное до подпространство (напомним, что подпространство можно дополнить до всего пространства , вообще говоря, многими способами; см. тему 2). Такое разложение означает, что каждый элемент единственным образом представим в виде , где , . Тогда

. Следовательно, в силу произвольности , любой элемент подпространства имеет хотя бы один прообраз из подпространства . Докажем, что этот прообраз в подпространстве единственный. Предположим противное: пусть для некоторого элемента в найдутся два прообраза и . является подпространством, поэтому . Но тогда ,т.е. . Из того, что пространство было разложено в прямую сумму следует (см. тему 2), что . Поэтому .

Итак, оператор устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами подпространств и . Поскольку линейный оператор сохраняет линейные комбинации, это взаимно однозначное соответствие является линейным изоморфизмом. Изоморфные линейные пространства и имеют одинаковые размерности: . Осталось снова вспомнить, что было разложено в прямую сумму . Отсюда .

Докажем, наконец, что . Пусть – базис пространства , а – базис пространства . Очевидно, что образ оператора является линейной оболочкой образов всех элементов базиса : . В базисах и оператор имеет матрицу , т.е. , . Из линейной независимости элементов следует, что среди элементов линейно независимых столько, каков ранг матрицы . Но .

Размерность ядра оператора часто называют дефектом этого оператора; обозначение: . Теорема 6 утверждает, что .

Замечание. Сравните утверждение теоремы 6 с утверждением теоремы 6 темы 3 о размерности ядра -матрицы :

.

5. Линейное пространство операторов.

Суммой операторов называется отображение , действующее из в по правилу для всех . .

Произведением оператора на число называется отображение , действующее по правилу для всех . .

Теорема 7. Для любых операторов и для любого числа , .

(Докажите самостоятельно.)

Теорема 7 означает, что множество всех линейных операторов, действующих из в , является линейным пространством (над тем же полем чисел , над которым заданы и ).

Задача. Проверьте выполнение всех аксиом линейного пространства для . Какова размерность линейного пространства ?