Тема 6. Линейные операторы.

1. Взаимно однозначные отображения.

Перенесем некоторые понятия, известные из элементарной теории функций, на произвольные отображения одного множества в другое. Пусть и – два произвольных множества, а – отображение, действующее из в ; . Задание отображения подразумевает, что во множестве имеется некоторое подмножество , на элементах которого определено отображение ( – область определения ), а во множестве имеется подмножество (оно называется областью значений или образом отображения ), причем каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент : . Отображение называется инъективным, если для любых двух элементов из условия следует . Отображение называется сюръективным, если . Сюръективность отображения означает, что для любого элемента уравнение имеет решение (возможно, не единственное). Отображение называется взаимно однозначным или биективным, если оно инъективно и сюръективно.

Если , то тот единственный элемент , для которого , называется образом элемента при отображении .

Если , то всякий элемент , для которого , называется прообразом элемента при отображении . Элемент может иметь более одного прообраза; но если отображение инъективно, то у каждого элемента имеется только один прообраз.

Задача. , ,

Найдите и . Найдите все прообразы числа .

Найдите образ числа .

Задача. , , . Найдите и . Найдите образ числа . Найдите все прообразы числа . Найдите подмножества , на которых биективно.

2. Линейные операторы.

Пусть и – конечномерные линейные пространства над общим полем чисел ( или ). Отображение : называется линейным отображением пространства в пространство , если для любых и любого числа выполняются равенства . , . Линейное отображение называется также линейным оператором, действующим из пространства в пространство ; обозначение: . Операторы и , действующие из в , называются равными, если для любого .

Примеры линейных операторов.

1. Отображение : , которое каждый вектор переводит в нулевой вектор , является линейным и называется нулевым оператором.

2. Отображение : , которое каждый вектор переводит в , является линейным и называется тождественным оператором.

3. – линейное пространство многочленов степени не выше , . – оператор дифференцирования: , .

4. , . – оператор интегрирования на фиксированном отрезке : . .

5. . Отождествим с плоскостью и зададим оператор геометрически. Оператор поворачивает каждый направленный отрезок (с началом в начале координат) на угол против часовой стрелки вокруг начала координат. .

Из определения линейного оператора вытекают его простейшие свойства:

1. Линейный оператор переводит в .

2. Линейный оператор сохраняет линейную комбинацию: , .

3. Линейный оператор всякую линейно зависимую систему элементов переводит в линейно зависимую.

Замечание. Линейный оператор может не сохранять линейную независимость системы элементов. Приведите пример!

Задать линейный оператор можно, описав его действие на каждый элемент пространства . Но достаточно это сделать только для векторов некоторого базиса пространства . Зная все , , можно найти образ любого вектора : (здесь – координаты в базисе ).

Теорема 1. Пусть – базис пространства , а – произвольные векторы пространства . Тогда существует, и притом единственный, линейный оператор , который переводит векторы в векторы соответственно.

Доказательство. Зададим действие искомого оператора сначала только на векторы : , . Распространим его действие на все векторы : если , то положим . Из единственности разложения по базису следует, что такое правило однозначно определяет образ любого вектора. Линейность построенного оператора вытекает из линейности координат векторов пространства в фиксированном базисе. Если бы существовал другой оператор , удовлетворяющий условиям теоремы, то для любого мы имели бы , т.е. .

Следствие. Линейные операторы и , действующие из в , равны тогда и только тогда, когда они совпадают на векторах базиса .