Остаточный член формулы Тейлора в формуле Пеано

Теорема. Пусть функция удовлетворяет условию.

Тогда в окрестности точки ее можно представить в виде

, где - бесконечно малая величина, т.е. .

Доказательство этой теоремы проведем по индукции

1. Рассмотрим случай . В этом случае условие теоремы принимает вид

Так как

то, учитывая написанное условие, получим

что означает, что есть бесконечно малая величина. Но тогда , что и утверждается в условии теоремы для.

2. Пусть теперь теорема верна для некоторого . Докажем, что она верна для .

Итак, пусть для функции выполнено условие

Рассмотрим функцию . Для нее будет выполнено условие

.

Так как мы предположили, что для теорема верна, можно представить в виде

Вернемся к . Воспользуемся формулой Лагранжа

где . Но , и поэтому

Поделим и умножим это выражение на

где

Но при и поэтому т.е. - бесконечно малая величина. Далее, так как , то и поэтому . Как известно, произведение б.м.в. на ограниченную величину есть также б.м.в.. Поэтому есть бесконечно малая величина, что и доказывает нашу теорему.

ч.т.д.

Следствие. С учетом этой теоремы, формулу Тейлора можно записать в виде

где - б.м.в., или, в более употребительном виде

Эта формула носит название формулы Тейлора (или ряда Тейлора) с остаточным членом в форме Пеано.

Если взять то мы получим

которая носит название ряда Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа

Остаточный член в форме дает лишь качественную оценку . Хотелось бы иметь более точную количественную оценку. Такую оценку часто позволяет получить остаточный член в форме Лагранжа.

Рассмотрим еще раз выражение для

Рассмотрим функцию

Обратите внимание, как строиться выражение для функции : в выражение для вместо ставиться аргумент z.

Очевидно, что

,

Далее вычислим

.

Рассмотри еще функцию . Для нее

; ; .

А теперь воспользуемся формулой Коши

, .

Подставляя сюда соответствующие члены, получим

Отсюда получается выражение для остаточного члена :

, .

Эта форма остаточного члена и называется остаточным членом в форме Лагранжа. Ее дальнейшее использование заключается в том, что пытаются оценить сверху , т.е. ищут такое , что .

Тогда

что и позволяет оценивать погрешность от использования формулы Тейлора для вычисления . Сама формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

,

где . В частном случае

Эта формула носит название ряда Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Разложение в ряд Тейлора некоторых функций

Используя последнюю формулу, напишем разложение в ряд Тейлора некоторх наиболее часто встречающихся функций. Рекомендуется запомнить эти разложения:

А. . Пусть . Имеем

; ; ; ;

; ; ; ;.

Ряд Маклорена дает нам

где . Но так как , то и мы имеем оценку

В частности, беря , получим формулу для вычисления числа e

где погрешность не превосходит величины .

Б. . Имеем

; ; ;

;

Подставляя x=0, получим

; ;

;

и дальше эти значения начинают повторяться. Поэтому ряд Маклорена дает

Так как , то

Окончательно

.

В. . Имеем:

; ; ;

;

Подставляя x=0, получим

; ; ; и далее эти значения повторяться.

Формула Маклорена дает:

Так как , то

Г. . Имеем:

; ; ;

;

Подставляя x=0, получим

; ; ; ; ;

Подстановка в формулу Маклорена дает

.

Д. . Имеем

; ; ;

Подставляяx=0, получим

; ; ;

и формула Маклорена дает

Заметим, что если (целое число), то этот ряд обрывается на и получается формула бинома Ньютона. Данная формула может рассматриваться как обобщение формулы бинома Ньютона на случай произвольного вещественного .

Различные виды ур-ний прямой и плоскости.

Во всех прямоугольных координатах ур-ние плоскости:Аx+By+Cz+D=0.(1)

Это ур-ние называется общим ур-нием плоскости.Коэффициенты А,В и С

явл.координатами вектора n ,перпендикулярного к плоскости,заданной ур-нием(1).

Он называется нормальным вектором и определяет ориентацию пл-сти в пространстве

Относительно сис-мы координат.

Сущ.различ.виды ур-ний и способов задания плоскостей:

1.Ур-ние плоскости по точке и норм.вектору.Если плоскость проходит через

точку М нулевое(х,у,z) и перпендикулярна к вектору n=(А,В,С) то ее ур-ние:

А(х-х нулевое)+В(у-у нулевое)+С(z-z нулевое)=0 . (2)

2.Ур-ние плоскости в отрезках.Если плоскость пересекает оси координат Ох,Оу,Оz

в точкахМ1(а,0,0),М2(0,b,0),М3(0,0,с) то:

х/а+у/b+z/c=1,где а,b,с не равны 0.

3.Ур-ние плоскости по трем точкам.Если плоскость проходит через точки не

лежащие на одной прямой,то:

Проекция вектора

Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными.

Определение: Ортогональной проекцией вектора на направление вектора называется скалярная величина , φ – угол между векторами (рис.9).

Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA₀.

Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю.

При ортогональной проекции угол между отрезками OA₀ и AA₀ прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.

Проекции векторов обладают следующими свойствами: