2.4 Теоремы о непрерывных функциях

Ниже приводятся формулировки основных теорем о непрерывных функциях.

Первая теорема Больцано-Коши.

Пусть f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения. Тогда такая, что f(c) = 0.

Вторая теорема Больцано-Коши.

Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке и , . Тогда .

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда существуют конечные m и M такие, что .

Другими словами, функция, непрерывная на замкнутом отрезке, ограничена на этом отрезке и сверху и снизу.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда , такие, что , .

Другими словами, непрерывная функция, определенная на замкнутом отрезке, достигает в нем своих супремума и инфимума.

2.5 Обратная функция

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] и ее значения принадлежат отрезку [c, d]. Если (символ читается «существует одно и только одно») такое, что y = f(x), то говорят, что на отрезке [c, d] определена функция , обратная к функции f(x).

Только обычно при записи обратной функции меняют местами переменные x и y и записывают ее в обычной форме .

Основное свойство обратной функции имеет вид

Теорема. Пусть f(x) строго монотонно возрастает и непрерывна на [a, b]. Тогда на интервале [c, d], где c=f(a), d=f(b) существует непрерывная строго монотонно возрастающая обратная функция .

2.6 Замечательные пределы

С использованием непрерывности функций можно вывести целый ряд пределов, которые получили общее название замечательных пределов. Ниже приводятся наиболее важные из них.

1. .