60. Дифференциал длины дуги. Кривизна линий.
L-длина дуги
1. Если
кривая задается уравнением y=f(x),
то
L=l(x),
-?
=
2.Если
кривая задается в параметрическом виде,
то
,
3. Кривая
задана полярными координатами
Расстояние от нач. до координаты – полярный радиус
Полярный угол
x=rcos
y=rsin
r
= f(
)
подставить
в формулу 2
Кривизна
,
Получаем:
Радиус
кривизны- величина обратная кривизне
Геометрическое место центра кривизны есть кривая наз. эволютой.
№ 21 Расстояние точки до пл-ти.
y-y0=k(x-x0)- уравненіе прямой проходяўей через точку x0,y0
№22 Виды прямой в пространстве. Угол между прямыми, усл. параллельности и перпендикулярности.
tgφ/k2-k1/1+k1k2
k1=k2- условие параллельности
k1k2= -1 условие перпендикулярности
-
каноническое уравнение прямой
- параметрические
уравнение
-
Ур-ние прямой проход. через 2 заданные
точки
29. Линии второго порядка
Линией (кривой) второго порядка наз множество М точек плоскости, координаты х,у которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени.
(1)Ах²+Ву²+Сху+Дх+Еу+F=0 Для того, чтобы определить тип линий второго порядка, ее параметры и построить график необходимо уравнение (1) привести к каноническому виду. Если в уравнении (1) отсутствует слагаемое Сху, то оно приводится к кананическому виду выделением полного квадрата.
Частные случаи уравнения:
1. эллипс- множество точек в плоскости, каждая из которых удовлетворяет следующему условию: сумма расстояния от точки эллипса до двух данных точек наз фокусами есть величина постоянно большая чем расстояние между фокусами. Уравнение эллипса предполагает, что его фокусы лежат на оси.
х²/а²+у²/в²=1 – каноническое уравнение эллипса.
а,в- полуоси эллипса , в- меньшая полуось, а- большая
в= √а² -с²
эксцентриситет:
Е= 2с/2а=с/а, Е<1
Если центр эллипса нах в произвольной точке М(х,у,), то тогда уравнение эллипса имеет след вид (х-х´²)/а²+(у-у´²)/в²=1
2. Гипербола- множество точек в плоскости для каждой из которой выполняется условие: разность параллельных расстояний от точки гиперболы до 2 данных точек наз фокусами, есть величина постоянная < чем расстояние между фокусами.
х²/а²-у²/в²=1 – каноническое уравнение гиперболы с фокусами на ОХ
а- действительная полуось, в- мнимая в=√с²-а²
асимптотами гиперболы явл 2 симметричные ей прямые
у= ±(в/а)х
эксцентриситет:
Е= 2с/2а=с/а, Е>1
Если фокусы лежат на оси ОУ: х²/а²-у²/в²=-1
Соотношение между осями: в=√с²-а²
Если центр симметрии гиперболы нах в начале координат а,в произвольной точке М (х,у) то: (х-х´²)/а²+(у-у´²)/в²=±1
3. парабола – множество точек в плоскости каждая из которых равно удалена от заданной точки наз фокусами данной прямой наз директрисой.
у²= 2рх кананическое уравнение параболы с фокусами на ОХ, р- параметр параболы
х=-р/2- директриса
F(р/2;0)
Фокус на оси ОУ х²= 2ру
F(0;р/2) у= -р/2
Если вершина параболы находится в точке М(х,у) то уравнение параболы записывается:
(у-у´)²= 2р(х-х´)
(х-х´)²= 2р(у-у´)