4. Устойчивость сжатых стержней

Для полного представления о работе сооружения наряду с расчетами на прочность и жесткость необходимы расчеты на устойчивость сжатых и сжато-изогнутых элементов.

Инженерные объекты кроме расчетных нагрузок могут подвергаться дополнительным, не предусмотренным в расчете, малым возмущениям, способным вызвать в элементах объекта непроектную деформацию (искривление оси сжатых элементов, пространственный изгиб плоско изогнутого элемента). Результат такого дополнительного воздействия зависит от интенсивности нагрузок, действующих на элемент конструкции. Для каждого элемента существует некоторое критическое значение нагрузки, при превышении которого малое случайное возмущение вызывает необратимую непроектную деформацию. Такое состояние объекта является опасным.

При нагрузках меньших критических, случайные малые воздействия не способны вызвать непроектную деформацию элементов.

Существует классификация состояний элементов:

при Р<Р_кр- устойчивое,

при Р>Р _кр –неустойчивое

при Р=Р _кр -состояние безразличного равновесия сил , при котором наряду с проектной деформацией может иметь место и "непроектная" деформация элемента.

Критическая нагрузка Р_кр для сжатых элементов определяется как наименьшая сжимающая сила, при которой наряду с прямолинейной формой равновесия становится возможной искривленная форма равновесия.

Величина критической силы для гибких стержней (λ>λ_пред) определяется по формуле Эйлера

(2.29)

где

• λ ‑ гибкость стержня,

• I_min –минимальный осевой момент инерции,

• μ –коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня (рис. 2.6)

Рис. 2.6

Гибкость стержня , где ‑ минимальный радиус инерции.

Если стержень закреплен по-разному в двух плоскостях, необходимо определить два значения критической силы и выбрать меньшее.

Критическое напряжение σ_кр определяется по формуле:

(2.30)

Формула Эйлера справедлива при , когда потеря устойчивости происходит в области упругих деформаций, подчиняющихся закону Гука.

(2.31)

Для коротких стержней критическое напряжение _кр принимается равным для хрупких материалов и для пластичных материалов.

При для определения критического напряжения используется эмпирическая формула Ясинского

Для малоуглеродистой стали a = 310 МПа, b = 1.14 МПа.

Для дерева a = 29.3 МПа, b = 0.194 МПа.

Для чугуна формула Ясинского выглядит следующим образом:

где a = 776 МПа, b = 12 МПа, c = 0.053 МПа.

При расчете на прочность требовалось выполнение условия

Теперь необходимо учитывать, чтобы не оказалось больше .

Для обеспечения запаса устойчивости должно выполняться условие где n – коэффициент запаса по устойчивости, зависящий от возможного внецентренного приложения сжимающей силы, от начальной кривизны оси стержня и т.д.

Если обозначить (где φ– коэффициент снижения основного допускаемого напряжения), условие устойчивости запишется в виде

, (2.32)

значения φ зависят от гибкости λ и сведены в таблицу (приложение 3).

Задача проверки прочности и определения [P] для стержня с известными геометрическими характеристиками сечения не вызывают затруднений. Задача подбора сечения сжатых стержней более сложная. Дело в том, что коэффициент φ зависит от гибкости стержня, т. е. от формы и размеров поперечного сечения. В этом случае задача решается методом последовательных приближений (смотри пример решения задачи 9).