лабораторная работа / Лаба№10 Синтез систем управления с обратной связью

Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Кафедра «Персональная электроника»

Лабораторная работа №10

по дисциплине «Основы автоматических систем управления»

Синтез систем управления с обратной связью. Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска.

Выполнил:	Зернин Н.Д.
Принял:	проф. Трофимов А. Т.

Дубна, 2010 г.

Цель работы:

- Провести коррекцию системы управления с помощью схем с опережением и отставанием по фазе.

- Оценить запас устойчивости по модулю и запас устойчивости по фазе.

- Провести синтез регулятора и найти его характеристику.

Теоретическое введение.

В общем случае синтез системы связан с выбором ее типа и структуры и последующей настройкой параметров. Для получения требуемых показателей качества в структуру системы вводится дополнительный элемент, корректирующий ее характеристиками. Такой корректирующий элемент или устройство может быть электрическим, механическим, гидравлическим, пневматическим или иным, называемым обычно регулятором. Наиболее часто в системах управления в качестве регуляторов используются электрические схемы.

Корректирующее устройство – это элемент или схема, дополнительно вводимые в систему управления с целью исправления ее динамических характеристик.

Качество системы управления может быть описано как с помощью ее временных, так и частотных характеристик. Требования к качеству могут быть заданы, например, в виде величины максимального перерегулирования, времени максимума переходной характеристики и времени ее установления. Обычно необходимо задать максимально допустимую установившуюся ошибку при различных тестовых входных сигналов и внешних возмущений.

Применительно к диаграмме Боде разработан аналитический метод выбора параметров корректирующих устройств с опережением или отставанием по фазе. Простое однозвенное корректирующее устройство с передаточной функцией:

при α < 1 обладает отставанием по фазе, а при α > 1 создает опережение по фазе.

Довольно часто от системы управления требуется, чтобы ее переходная характеристика как можно быстрее стремилась к установившемуся значению с минимальным перерегулированием. Системы такого типа принято называть системами с апериодической реакцией. В качестве меры близости переходной характеристики к установившемуся значению принимают зону, равную 2% от этого значения. Тогда временем установления считают время , за которое переходная характеристика входит в указанную зону. Апериодическая реакция характеризуется следующими показателями:

1. Установившаяся ошибка = 0.

2. Быстродействие это минимальное время нарастания и время установления.

3. относительное перерегулирование < 2%.

4. Относительный выброс ниже установившегося значения < 2%.

Ход работы

Рассмотрим систему управления намоткой ротора. Цель синтеза – обеспечить высокую точность при отработке системой линейного входного сигнала. Рассмотрим регулятор с передаточной функцией . В этом случае установившаяся ошибка при линейном входном сигнале будет равна:

Чем больше мы сделаем K, тем меньше будет установившаяся ошибка. Однако, увеличение K будет негативно сказываться на переходной характеристике.

Построим переходные характеристики системы с пропорциональным регулятором.

K=[50 100 200 500];

numg=[1]; deng=[1 15 50 0];

sysg=tf(numg,deng);

t=[0:0.01:15];

for i=1:4

sys=feedback(K(i)*sysg,[1]);

y=step(sys,t);

Ys(:,i)=y;

end

plot(t,Ys(:,1),t,Ys(:,2),t,Ys(:,3),t,Ys(:,4))

xlabel('Time(s)'),ylabel('y(t)'), grid

Рис. 1. График переходных характеристик системы с пропорциональным регулятором .

При K = 500 установившаяся ошибка в случае линейного входного сигнала составляет 10% от скорости этого сигнала, но при ступенчатом воздействии величина перерегулирования равна 70%, а время установления – примерно 8 с.

Построим диаграмму Боде нескорректированной системы при K = 500.

K=500;

numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);

sys=K*sysg;

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys);

Phi=(60-Pm)*pi/180;

alpha=(1+sin(Phi))/(1-sin(Phi))

[mag,phase,w]=bode(sys);

mag_save(1,:)=mag(:,1,:);

M=-10*log10(alpha)*ones(length(w),1);

semilogx(w,20*log10(mag_save),w,M),grid

xlabel('Частота(рад/сек)'),ylabel('Амплитуда(дБ)')

Рис. 2. График диаграммы Боде .

Мы нашли значение alpha = 6.9923. По графику определяем частоту, при которой амплитудная характеристика нескорректированной системы имеет значение -10lg(alpha). Эта частота равна 10 рад/сек.

Построим диаграмму Боде скорректированной системы. В данном случае при K = 1800.

K=1800;

numg=[1]; deng=[1 15 50 0];

numgc=K*[1 3.5]; dengc=[1 25];

sysg=tf(numg,deng);

sysgc=tf(numgc,dengc);

sys=series(sysg,sysgc);

margin(sys)

Рис. 3. График диаграммы Боде скорректированной системы.

Из графиков видно, что запас по амплитуде равен 15,5 дБ, а запас по фазе равен 59,2 градуса.

Построим переходную характеристику системы при K = 1800.

K=1800;

numg=[1]; deng=[1 15 50 0];

numgc=K*[1 3.5]; dengc=[1 25];

sysg=tf(numg,deng);

sysgc=tf(numgc,dengc);

syso=series(sysg,sysgc);

sys=feedback(syso,[1]);

t=[0:0.01:2];

step(sys,t)

ylabel('y(t)'),grid

Рис. 4. График переходной характеристики скорректированной системы.

Мы применяли регулятор с опережением по фазе. Чтобы уменьшить установившуюся ошибку за счет увеличения , применим корректирующее устройство с отставанием по фазе, имеющее передаточную функцию

,

где . Для синтеза такого устройства воспользуемся методом корневого годографа. Область желаемого расположения доминирующих корней определяется параметрами ζ = 0,59 и .

Построим корневой годограф скорректированной системы.

numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);

numgc=[1 0.1]; dengc=[1 0.01]; sysgc=tf(numgc,dengc);

sys=series(sysgc,sysg);

clf; rlocus(sysg); hold on

zeta=0.5912; wn=2.2555;

x=[-10:0.1:-zeta*wn]; y=-(sqrt(1-zeta^2)/zeta)*x;

xc=[-10:0.1:-zeta*wn]; c=sqrt(wn^2-xc.^2);

plot(x,y,':',x,-y,':',xc,c,':',xc,-c,':')

axis([-15,1,-10,10]);

Рис. 6. б. График корневого годографа скорректированной системы.

Построим переходную характеристику скорректированной системы при K = 100.

K=100;

numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);

numgc=K*[1 0.1]; dengc=[1 0.01]; sysgc=tf(numgc,dengc);

syso=series(sysgc,sysg);

sys=feedback(syso,[1]);

step(sys);

Рис. 7. График переходной характеристики скорректированной системы.

Из графика видно, что время установления с. Если мы проанализируем регулятор с отставанием по фазе и регулятор с опережением по фазе, то мы увидим следующее:

Для регулятора с опережением по фазе: перерегулирование при ступенчатом входном сигнале равно 13%; время установления равно 4 с.; установившаяся ошибка при линейном входном сигнале равна 10%.

Для регулятора с отставанием по фазе: перерегулирование при ступенчатом входном сигнале равно 8%; время установления равно 1 с.; установившаяся ошибка при линейном входном сигнале равна 20%.

Система чтения информации с диска.

Мы синтезируем ПД-регулятор, удовлетворяющий следующим значениям к переходной характеристике системы:

Относительное перерегулирование менее 5%; время установления менее 150 мс. максимальное значение реакции на единичное возмущение менее 5·10־³. Наша цель - получить систему с апериодической реакцией, которая в замкнутом состоянии имеет передаточную функцию вида:

Возьмем α = 1,82. В этом случае нормированное время установления . Т.к. время установления должны быть меньше 50 мс ( по условию ), то выберем . Тогда получим мс. Знаменатель в выражении примет вид:

Замкнутая система имеет характеристическое уравнение:

Получаем: и . Находим и . Тогда характеристика регулятора будет равна .

Выводы:

Корректирующие устройства с опережением по фазе (как диаграммы Боде, так и корневой годограф) увеличивают запас по фазе и, следовательно, повышают устойчивость системы. Если предъявляются требования к коэффициенту ошибки, то синтез лучше производить с помощью диаграммы Боде. Если же коэффициент ошибки не задан, а предъявляются определенные требования к перерегулированию и времени установления переходной характеристики, то синтез корректирующего устройства с опережением по фазе проще выполнить с помощью корневого годографа. Если требуется иметь большие значения коэффициентов ошибки, то для коррекции систем обычно применяются устройства интегрирующего типа, обладающие отставанием по фазе. Коррекция с опережением по фазе приводит к увеличению полосы пропускания замкнутой системы, а коррекция с отставанием по фазе – наоборот, к ее уменьшению. Полоса пропускания может быть очень важным фактором, если система подвержена влиянию внешних шумов или если шум возникает внутри самой системы. Синтез выполняется только в том случае, если амплитудная характеристика скорректированной системы на диаграмме Боде пересекает уровень 0 дБ с наклоном -20дБ/дек.

3