лабораторная работа / Лаба№3 Анализ моделей в переменных состояния с помощью MATLAB

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования московской области Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Кафедра «Персональная электроника»

Лабораторная работа №3

по дисциплине «Основы автоматических систем управления»

Анализ моделей в переменных состояния с помощью MATLAB. Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска.

Выполнил: студент группы 4142

Зернин Н.Д.

Принял: проф. Трофимов А.Т.

Дубна, 2010 г.

Цель работы:

1. Познакомиться с понятием состояния и понятием переменных состояния системы. Провести преобразование одного вида модели системы ( передаточная функция ) в другой ( уравнение состояния ) и вычислить переходную матрицу состояния. Разработать модель в переменных состояния для системы чтения информации с диска.

Используемые средства: ИКС MATLAB.

Теоретическое введение.

Повсеместное применение цифровых компьютеров побуждает нас обратиться к опи­санию систем управления во временной области. Соответствующие методы могут быть применены к нелинейным, нестационарным и многомерным системам. Нестационарная система управления — это система, в которой один или более параметров являются функциями времени. Например, масса ракеты изменяется по мере расходования топли­ва в процессе полета. Многомерная система — это сис­тема с несколькими входами и выходами. Для систем управления, описание которых представлено во временной области, решение многих задач облегчается путем применения цифровых компьютеров. Поэтому нам имеет смысл еще раз обратиться к дифферен­циальным уравнениям как к средству описания систем во временной области. Временная область — это область, в которой поведение системы рассматривается как функция пере­менной t (времени). Состояние системы – это совокупность таких переменных, знание которых наряду со входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамической системы ее состояние описывается набором переменных состояния. Это такие переменные, которые определяют будущее поведение системы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия.

Ход работы

Анализ моделей в переменных состояния с помощью MATLAB.

Анализ систем управления во временной области предполагает задание ее модели в пространстве состояний:

и (1)

Вектор х характеризует состояние системы, матрица А есть матрица коэффициентов размерности , В — матрица входа размерности , С — матрица выхода размерно­сти , D — матрица обхода размерности . Мы ограничиваемся рассмотрением сис­тем с одним входом и одним выходом, поэтому в данном случае т= р=1,а у и и являются скалярными переменными.

Основными элементами модели в пространстве состояний являются вектор x и матрицы (А, В, С, D). Подобное описание как нельзя лучше подходит для использова­ния среды MATLAB, в которой основной рабочей единицей является матрица. В действительности MATLAB охватывает так много различных методов, базирующихся на пространстве состояний, что рассмотреть их все мы просто не имеем возможности.

Если задана передаточная функция, то мы можем получить эквивалентную модель системы в переменных состояния и наоборот. Для этого в МАТЪАВ имеются две функции: функция ss позволяет перейти от передаточной функции к представлению системы в пространстве состояний, функция tf выполняет обратную задачу.

num=[2 8 6]; den=[1 8 16 6];

sys_tf=tf(num,den);

sys_ss=ss(sys_tf)

Рис. 1. Преобразование передаточной функции в форму фазовой переменной в пространстве состояний (скрипт MATLAB).

>> convert

a =

x1 x2 x3

x1 -8 -1 -0.1875

x2 16 0 0

x3 0 2 0

b =

u1

x1 2

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 1 0.25 0.09375

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

Рис. 2. Преобразование передаточной функции в форму фазовой переменной в пространстве состояний (Распечатка результата).

Решение первого из уравнений (1) имеет вид:

Матричная экспоненциальная функция есть переходная матрица состояния Ф(t), т.е. Ф(t)=exp(At). Для вычисления переходной матрицы состояния при заданном шаге дискретности по времени используется функция expm.

>> A=[0 -2; 1 -3]; dt=0.2; Phi=expm(A*dt)

Phi =

0.9671 -0.2968

0.1484 0.5219

Рис. 3. Вычисление переходной матрицы состояния при заданном шаге дискретности .

Временные характеристики системы можно также получить с помощью функции lsim. Эта функция допускает как задание ненулевых начальных условий, так и входной функции. Вычислим реакцию RLC-цепи с помощью функции lsim.

>> A=[0 -2; 1 -3]; B=[2; 0]; C=[1 0]; D=[0];

>> sys=ss(A, B, C, D);

>> x0=[1 1];

>> t=[0:0.01:1];

>> u=0*t;

>> [y,T,x]=lsim(sys,u,t,x0);

>> subplot(211),plot(T,x(:,1));

>> xlabel('Time(s)'),ylabel('X_1')

>> subplot(212),plot(T,x(:,2))

>> xlabel('Time(s)'),ylabel('X_2')

Рис. 4. Вычисление с помощью функции lsim временных характеристик при ненулевых начальных условиях и отсутствии входного сигнала.

Система чтения информации с диска.

Высококачественные диски имеют до 5000 дорожек на см. Ширина дорожек обычно порядка 1мкм. Поэтому предъявляются очень жесткие требования к точности позиционирования считывающей головки и к ее перемещению от одной дорожки к другой. Поскольку для быстрого перемещения головки необходимо иметь малую массу рычага, то нам придется учесть эффект изгиба пластины, изготовленной из очень тонкой упругой стальной ленты. Обозначим массу двигателя через М1, а массу головки через М2. Изгиб пластины будем характеризовать коэффициентом упругости k. Сила u(t), приводящая в движение массу М1, создается двигателем постоянного тока. Если пластина является абсолютно жесткой, то мы получим упрощенную модель.

>> k=10;

>> M1=0.02; M2=0.0005;

>> b1=410*10^(-3); b2=4.1*10^(-3);

>> t=[0:0.001:1.5];

>> A=[0 0 1 0; 0 0 0 1; -k/M1 k/M1 -b1/M1 0; k/M2 -k/M2 0 -b2/M2];

>> B=[0;0;1/M1;0]; C=[0 0 0 1]; D=[0]; sys=ss(A,B,C,D);

>> step(sys,t), grid

>> xlabel('Time(s)'),ylabel('Speed (m/s)')

Рис. 5. Реакция выходной переменной на ступенчатое входное воздействие в модели с двумя массами при k=10

Выводы:

В качестве переменных состояния целесообразно выбирать такие переменные, которые характеризуют накопление энергии в системе. Было проведено преобразование одного вида модели системы ( передаточная функция ) в другой ( уравнение состояния ) и вычисления переходной матрицы состояния. Была разработана модель в переменных состояния для системы чтения информации с диска.

2