- •Введение
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Требования к отчету по лабораторной работе
- •Математическое моделирование
- •Этапы математизации знаний
- •Математическое моделирование и модель
- •Интерпретации в математическом моделировании
- •Контрольные вопросы
- •Концептуальное математическое моделирование функционирования системного элемента Системный элемент как объект концептуального моделирования
- •Целенаправленность системного элемента
- •Целостность системного элемента
- •Концептуальная математическая модель функциональной системы
- •Стратифицированный анализ и описание кмм системного элемента
- •Кмм теоретико-системного уровня
- •Кмм уровня непараметрической статики
- •Кмм уровня параметрической статики
- •Кмм уровня непараметрической динамики
- •Кмм уровня параметрической динамики
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа n№ 1 Линейная непрерывная математическая модель элемента Теоретическое введение
- •Интерпретация концептуальной модели в математическое описание динамического элемента
- •Интерпретация динамического элемента в математическую модель Механическая модель
- •Электрическая модель
- •Система аналогий
- •Аналитическая реализация непрерывной линейной математической модели
- •Анализ поведения динамического элемента
- •Задание на лабораторную работу
- •Биоэлектрическая модель
- •Аналитическая реализация непрерывной нелинейной математической модели
- •Анализ поведения динамического элемента
- •Задание на лабораторную работу
- •Интерпретация линейного динамического элемента с запаздыванием в математическую модель Экономическая модель
- •Аналитическая реализация непрерывной линейной математической модели
- •Анализ поведения динамического элемента
- •Задание на лабораторную работу
- •Лабораторная работа n№ 4 Дискретная модель элемента. Конечный автомат Теоретическое введение. Моделирование с использованием конечных автоматов
- •Описание моделируемого объекта
- •Интерпретация концептуальной модели в математическое описание конечного автомата
- •Анализ поведения конечного автомата моделируемого объекта Последовательности входных воздействий
- •Функционирование автомата
- •Выходные координаты автомата
- •Задание на лабораторную работу
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4 Описание среды моделирования
- •Необходимое окружение
- •Структура и принципы работы
- •Входной язык
- •Выполняемая модель
- •Примеры моделирования в среде Model Vision for Windows
- •Установка системы Model Vision for Windows на персональном компьютере
- •Содержание
Биоэлектрическая модель
В основе электрических процессов и явлений, протекающих в живых системах, лежат механизмы, раскрытие которых возможно на клеточном и субклеточном уровнях. Для исследования биоэлектрических систем, наряду с биофизикой, эффективно используются законы, методы и язык теории электрических цепей.
В качестве объекта моделирования рассматривается мышца сердца, которая сокращается с определенной частотой, задаваемой особыми активными областями, называемыми водителями ритма сердца (ВСР), которым присуща автоматия, являющаяся свойством тканевых образований. В сердце млекопитающих существует несколько областей, обладающих ритмической автоматией. К таким областям относятся синоаурикулярный (синусный) SA — и атриовентрикулярный AV — узлы, а также некоторые другие тканевые структуры.
Основным водителем ритма здорового сердца (норма) является SA — узел. Тканевая структура SA — узла представляет собой скопление электрически активных клеток, обладающих ритмической автоматией. Между внешней и внутренней поверхностями мембраны такой клетки существует разность потенциалов Um, называемая мембранной ЭДС. По своей природе мембранная ЭДС является диффузионной и имеет ионный механизм возникновения. Значения Um определяются избирательной проницаемостью мембраны к отдельным ионам в различные фазы сердечного цикла.
В соответствии с мембранной теорией биоэлектрических процессов разность потенциалов Um определяется ионными токами. В общем случае клеточная мембрана проницаема для ионов и некоторых других.
Внешняя среда по отношению к клетке является поставщиком электрической энергии. Электрические параметры внеклеточной среды в определенных пределах можно считать инвариантными по отношению к клетке. В этом случае возможно рассмотрение схемы замещения возбудимой клеточной мембраны, предложенной Ходжкиным и Хаксли (рис. 4).
Рис. 4. Электрическая схема замещения возбудимой клеточной мембраны
Примером электрической модели клетки ВРС может служить модель, основанная на реализации нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка, к которому сводится описание электродинамики клетки ВРС по Ходжкину — Хаксли. Преобразование системы уравнений Ходжкина — Хаксли приводит к известному уравнению Ван дер Поля:
. (36)
Аналитическая реализация непрерывной нелинейной математической модели
Уравнение Ван дер Поля не имеет общего решения, которое можно было бы представить аналитически; существуют различные приближенные методы для оценки его вида (например, приближенный метод Ляпунова — Боголюбова). Однако наиболее удобным и обобщенным является использование фазовой плоскости для анализа поведения решения в окрестности некоторой точки.
Принципиально выделяется 2 вида точек фазовой плоскости:
-
обыкновенные точки;
-
особые точки (точки покоя).
Обыкновенные точки характеризуются единственностью проходящих через них фазовых траекторий, в то время как особые точки позволяют выделить семейства фазовых траекторий и поэтому представляют больший интерес.
В общем случае нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
(37)
равносильно системе уравнений второго порядка
(38)
Общее решение системы y = y(t), y’ = y’(t) может быть представлено геометрически семейством ориентированных фазовых траекторий на фазовой плоскости Oyy’.
Применительно к уравнению Ван дер Поля получается автономная система дифференциальных уравнений, т.е. система, в которой функции Q(y, y’) и P(y, y’) явно не зависят от параметра t:
(39)
Для возможности исследования автономной системы ее следует линеаризовать в точке покоя.
При этом, если у автономной системы существует точка покоя, то
P(y, y’) = Q(y, y’) = 0. (40)
Очевидно, что для уравнения Ван дер Поля это условие выполняется в точке (0,0).
Линеаризация заключается в разложении правых частей дифференциальных уравнений системы по формуле Тейлора. Тогда для эквивалентной уравнению Ван дер Поля системы получим:
(41)
Характер точки покоя полученной системы зависит от корней характеристического уравнения:
(42)
т.е., определяется значением коэффициента m.
Характер фазовой траектории в окрестности обыкновенной точки определяется только характером полученных траекторий в точке покоя, т.е. при фиксированном m невозможно выделить точки на плоскости, в окрестностях которых фазовая траектория будет иметь характер, отличный от траектории в точке покоя.
Замечание: при анализе характера точки покоя в случае , следует учитывать, что матрица А характеристического уравнения является недиагонализуемой, т.е. не существует матрицы С такой, что
или (43)
где и эмиртовые матрицы (точнее матрица А диагонализуема только в случае m = 0).