2. Критерий симметричного оптимума (со)

Рассмотрим систему, состоящую из ПИ – регулятора, апериодического звена первого порядка с постоянной времени Т_m и передаточным коэффициентом к, интегрирующим звеном с большой постоянной времени Т₀ (Т₀ >>4Tμ) и звеном обратной связи к_ос.

По условиям структурной устойчивости замкнутой системы нельзя использовать ПИ – регулятор ( ) с настройкойТи = Тμ, полностью компенсирующей единственную постоянную времени (получается идеальное колебательное звено).

Из уравнения

W_з(р) = W(р)/[1 + W(p)]

следует, что передаточная функция замкнутого контура никогда не равна единице во всём спектре частот сигнала. Для того, чтобы АЧХ (чётная функция частоты) контура была как можно ближе к единице и более плоской, необходимо, чтобы производные dA²(w)/dwⁿ ® 0 при w ® 0. Критерий симметричного оптимума требует такого выбора постоянной времени контурного регулятора, при котором выполняется это требование.

Из равенства нулю чётных производных в соответствии с числом определяемых параметров

dA²(w)/dw² = 0; dA²(w)/dw⁴ = 0

следует, что Т_и = 4Т_m и Т_р = 8Т²_mкк_ос/Т₀.

Аналогичный результат получается, если потребовать, чтобы амплитудная частотная характеристика рассматриваемой системы соответствовала амплитудной частотной характеристике фильтра Баттерворта третьего порядка

А²_Б(w) = 1 / [1 + (Tw)⁶].

Характеристический полином замкнутого контура системы

А_з(р) = (Т₀Т_рТ_m/кк_ос)р³ + (Т₀Т_р/кк_ос)р² + Т_ир + 1.

Нормированный полином Баттерворта представим в виде

А_БСО(р) = (1/а³)р³ + (2/а²)р² + (2/а)р + 1.

По условиям симметричного оптимума требуется, чтобы Т_и = 4Т_m.

Из равенства коэффициентов при р и р² характеристического и нормированного полиномов получаем

4Т_m = 2/а ; а = 0,5Т_m ; Т₀Т_р/кк_ос = 8Т²_m и Т_р = 8Т²_m кк_ос/Т₀.

При расчёте контура по условиям симметричного оптимума возмущающее воздействие принимают равным нулю. В этом случае передаточная функция контура при выбранных настройках получается в виде

W_ЗАМСО(р) = (4Т_m р + 1) / (8Т³_m р³ + 8Т²_m р² + 4Т_m р + 1),

а разомкнутого контура

W_РСО(р) = (4Т_m р + 1) / [8Т²_m р²(Т_m р + 1)].

Время достижения первого установившегося значения равно 3,1Тm,а наличие в числителе передаточной функции контура форсирующего члена обуславливает большое перерегулирование (до 43%) выходной величины при единичном изменении входного сигнала. Для устранения этого недостатка в цепь входного сигнала контура включают фильтр первого порядка (рис. 4) с передаточной функцией

W_ф(р) = 1/ (Т_фр + 1), Т_ф = 4Т_m .

Рис. 4

При этом время регулирования возрастает примерно в 2,3 раза, а динамическая ошибка по возмущению уменьшается.

При настройке контура, состоящего из двух апериодических звеньев с постоянными времени Т₀ и Т_m и суммарным коэффициентом передачи к, на СО параметры ПИ – регулятора определяются по формулам

к_р = Т₀/(2кТ_m); Т_и = 4Т_m.

Передаточная функция разомкнутого контура

W_РСО(р) = Т₀(4Т_m р + 1)/ [8Т²_m р(Т₀р + 1)(Т_m р + 1)].

ЕслиТ₀ >> 4Т_m, то

W_РСО(р) @ (4Т_m р + 1)/ [8Т²_m р²(Т_m р + 1)].

При этом передаточные функции замкнутого контура по управляющему и возмущающему воздействиям соответственно будут

W_ЗАМСО(р) = (4Т_mр + 1)/ [(2Т_mр + 1)(4Т²_mр² + 2Т_mр + 1)];

W_ВСО(р) = [8Т²_mр(Т_mр + 1)]/ [Т₀(2Т_mр + 1)(4Т²_mр² + 2Т_mр + 1)].

Если рассматривать знаменатель как характеристическое уравнение звена второго порядка, то x = 0,5.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика разомкнутого контура имеет наклоны –40, –20, –40и расположена симметрично относительно частоты среза (рис. 5), поэтому критерий и получил название симметричного оптимума.

Рис. 5

2.1. Для системы управления, представленной на рис. 6, выбрать

f

Хвх(р) к 1 Хвых(р)

- Wp(p) -

Т1р + 1 Тор

Кос

Рис. 6

структуру и рассчитать параметры регулятора в соответствии с требованиями симметричного оптимума. Снять кривые переходных процессов при изменении задания и нагрузки. Определить время переходного процесса и перерегулирование. Рассчитать в MathCAD частотные характеристики разомкнутой системы и переходную функции. Определить показатели качества управления (время переходного процесса, перерегулирование, запас устойчивости по фазе и амплитуде). Сравнить полученные результаты.

Параметры структурной схемы (рис. 6, 7) приведены в таблице 3.

Таблица 3

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
К	5,5	6,2	4.7	6,9	7,3	8,4	9,3	8,6	6,4	9,9
Кос	0,06	0,05	0,08	0,09	0,085	0,07	0,065	0,092	0,078	0,055
Т1, с	0,02	0,03	0,035	0,025	0,04	0,06	0,055	0,065	0,045	0,05
То, с	0,82	0,78	0,74	0,97	0,58	0,67	0,87	0,93	0,68	0,48

Рис. 7

2.2. Включить на вход системы фильтр (рис. 8) и повторить п. 2.1.

Рис. 8

2.3. Для системы управления, представленной на рис. 9, выбрать структуру и

К1 К2

- Wр(р) -

Т1р +1 Тор + 1

Кос

Рис. 9

рассчитать параметры регулятора в соответствии с требованиями СО. Снять кривые переходных процессов при изменении задания и нагрузки. Определить время переходного процесса и перерегулирование. Рассчитать в MathCAD частотные характеристики разомкнутой системы и переходную функции. Определить показатели качества управления (время переходного процесса, перерегулирование, запас устойчивости по фазе и амплитуде). Сравнить полученные результаты.