-
Дифференциальное уравнение имеет вид .
Если в уравнение
не входит переменная
,
то порядок уравнения можно понизить,
используя подстановку
,
где
.
Тогда
.
Пример
17.3. Решить задачу Коши
,
,
.
Полагаем
,
где
.
Тогда
и исходное уравнение принимает вид
.
Данное уравнение
– с разделяющимися переменными. Его
общее решение имеет вид
.
Используя начальные условия, находим
.
Подставляем в уравнение и выражаем
:
.
Так как
,
то приходим к следующему уравнению
относительно функции
,
интегрируя которое, получаем
.
Используя начальные
условия, находим
.
Окончательно получаем решение
.
17.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
|
|
(17.1) |
,
где
и
– некоторые действительные числа,
–
некоторая функция. Если
,
то уравнение
|
|
(17.2) |
,
называется
однородным, в противном случае, если
,
уравнение (17.1) называется неоднородным.
-
Однородное дифференциальное уравнение II порядка
с постоянными коэффициентами
Выражение вида
,
где
и
–
некоторые числа, называется линейной
комбинацией функций
и
с
коэффициентами
и
.
Если линейная
комбинация
равна нулю только тогда, когда коэффициенты
и
равны
нулю, то функции
и
называются линейно независимыми,
в противном случае – линейно зависимыми.
Теорема
1. Если
и
– линейно независимые частные решения
уравнения (17.2), то общее решение этого
уравнения является линейной комбинацией
этих частных решений, т.е. имеет вид
.
Будем искать решение уравнения (17.2) в форме
|
|
(17.3) |
,
где
– некоторое число. Подставим решение
(17.3) в уравнение (17.2). Учитывая, что
,
,
получим
,
или
.
Поскольку
,
получаем уравнение
|
|
(17.4) |
,
которое называется характеристическим уравнением исходного уравнения (17.2).
Решение уравнения (17.2) зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (17.4). Справедлива следующая теорема.
Теорема
2. 1) Если характеристическое уравнение
(17.4) имеет действительные корни
и
,
причем
(случай
).
Тогда общее решение уравнения (17.2) имеет
вид
|
|
(17.5) |
,
где
и
–
некоторые числа.
2) Если характеристическое
уравнение (17.4) имеет один действительный
корень
(кратности
2), т.е.
(случай
),
то общее решение уравнения (17.2) имеет
вид
|
|
(17.6) |
,
где
и
–
некоторые числа.
3) Если характеристическое
уравнение (17.4) не имеет действительных
корней (случай
),
т.е. имеет комплексные корни
и
,
то общее решение уравнения (17.2) имеет
вид
|
|
(17.7) |
,
где
и
–
некоторые числа.
Пример
17.4. Решить уравнение
.
Составляем
характеристическое уравнение:
.
Решая его, находим корни
и
.
Они различны. Следовательно, общее
решение данного уравнения имеет вид
.
Пример
17.5. Решить уравнение
.
Составляем
характеристическое уравнение:
.
Решая его, находим корни
.
Они совпадают. Следовательно, общее
решение данного уравнения имеет вид
.
Пример
17.6. Решить уравнение
.
Составляем
характеристическое уравнение:
.
Дискриминант квадратного уравнения
,
следовательно, характеристическое
уравнение не имеет действительных
корней. Решая его, находим комплексные
корни
и
.
Получаем
,
.
Следовательно, общее решение данного
уравнения имеет вид
.