Упражнения
16.8.
1) Найти общее решение дифференциального
уравнения, 2) построить несколько
интегральных кривых, 3) решить задачу
Коши с начальными условиями
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решить уравнения в разделяющихся переменных:
16.9.
.
16.10.
,
.
16.11.
.
16.12.
,
.
16.13.
,
.
16.14.
.
16.15.
,
.
16.16.
,
.
16.17.
,
.
16.18.
.
16.19.
.
16.20.
,
.
16.21.
,
.
16.22.
.
16.23.
,
.
16.24.
.
16.25.
,
.
16.26.
.
16.27.
.
16.28.
,
.
Решить однородные уравнения:
16.29.
.
16.30.
.
16.31.
.
16.32.
.
16.33.
.
16.34.
.
16.35.
.
16.36.
,
.
16.37.
.
16.38.
,
.
16.39.
.
16.40.
.
16.41.
,
.
16.42.
.
16.43.
.
16.44.
.
16.45.
.
Решить линейное уравнение
16.46.
.
16.47.
,
.
16.48.
.
16.49.
,
.
16.50.
.
16.51.
.
16.52.
,
.
16.53.
.
16.54.
.
16.55.
.
16.56.
.
16.57.
.
16.58.
.
О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М
Глава 16.
16.8.
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
.
16.9.
.
16.10.
.
16.11.
.
16.12.
.
16.13.
(
.
16.14.
.
16.15.
.
16.16.
.
16.17.
,
.
16.18.
.
16.19.
.
16.20.
,
.
16.21.
,
.
16.22.
.
16.23.
,
.
16.24.
.
16.25.
,
.
16.26.
.
16.27.
.
16.28.
,
.
16.29.
.
16.30.
.
16.31.
.
16.32.
.
16.33.
.
16.34.
.
16.35.
.
16.36.
.
16.37.
.
16.38.
.
16.39.
.
16.40.
.
16.41.
,
.
16.42.
.
16.43.
.
16.44.
.
16.45.
.
16.46.
.
16.47.
,
.
16.48.
.
16.49.
,
.
16.50.
.
16.51.
.
16.52.
,
.
16.53.
.
16.54.
.
16.55.
.
16.56.
.
16.57.
.
16.58.
.
Глава 17. Дифференциальные уравнения II порядка
17.1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
В некоторых случаях решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда говорят, что данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка.
-
Дифференциальное уравнение имеет вид .
Данное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием.
Пример
17.1. Решить уравнение
.
Поскольку
,
то исходное уравнение можно записать
в виде
,
откуда получим
.
Выполняя почленное интегрирование,
получаем
,
где
–
произвольная постоянная. Поскольку
,
то полученное уравнение можно записать
в виде
,
откуда получим
.
Интегрируя почленно, окончательно
получаем
,
где
–
произвольная постоянная.
Аналогично
решаются уравнения вида
.
-
Дифференциальное уравнение имеет вид .
Если в уравнение
не входит искомая функция
,
то его можно решить, используя подстановку
,
где
.
Тогда
.
Пример
17.2. Решить
уравнение
.
Полагаем
.
Исходное уравнение принимает вид
,
откуда следует
.
Интегрируя данное уравнение, приходим
к решению
.
Поскольку
,
получаем уравнение
,
или
,
решая которое, окончательно получаем
.