- •Раздел 7 дифференциальные уравнения Глава 15. Основные понятия
- •Глава 16. Дифференциальные уравнения I порядка
- •16.1. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
- •16.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Интегрируя обе части этого уравнения
- •16.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •16.4. Линейные уравнения первого порядка Уравнение вида
- •Упражнения
- •Глава 16.
- •Глава 17. Дифференциальные уравнения II порядка
- •17.1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Дифференциальное уравнение имеет вид .
- •Дифференциальное уравнение имеет вид .
- •Дифференциальное уравнение имеет вид .
- •17.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Однородное дифференциальное уравнение II порядка
- •Неоднородное дифференциальное уравнение II порядка
- •Упражнения
- •Глава 17.
-
Раздел 7 дифференциальные уравнения Глава 15. Основные понятия
При изучении природных и общественных явлений не всегда удается непосредственно найти законы, которым подчиняются величины, характеризующие эти явления. В то же время можно установить зависимость между этими величинами и их производными или дифференциалами.
Зависимость, связывающая независимую переменную x, неизвестную функцию этой переменной и ее производные (или дифференциалы) различных порядков, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения.
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:
.
В частных случаях в уравнение могут не входить , и ее некоторые производные порядка ниже, чем .
Пример 15.1. Уравнение радиоактивного распада
,
где – постоянная распада, – количество неразложившегося вещества в момент времени , скорость распада пропорциональна количеству распадающегося вещества.
Пример 15.2. Уравнение движения точки массы под влиянием силы (второй закон Ньютона)
.
Произведение массы на ускорение равно силе, которая зависит от времени, положения точки и ее скорости.
Пример 15.3. Уравнение распространения эпидемий,
,
где – число незараженных индивидов в момент времени , и – число зараженных и незараженных людей в начальный момент времени соответственно, – коэффициент пропорциональности (зависит от вида инфекции).
Пример 15.4. “Уравнение социальной диффузии” (Дж. Коулмен),
,
представляет собой модель распространения новшеств, т.е. распространения в определенных социальных группах образцов поведения, моды, информации, культурных новинок. Здесь – число сторонников новшества в данный момент времени; – общая численность рассматриваемой группы; – число контактов, завязываемых каждым сторонником в единицу времени; – коэффициент, изменяющийся от 0 до 1 и отражающий тот факт, что не каждый контакт сторонника новшества с несторонником предполагает агитирование последнего, а также то, что не каждая агитация заканчивается успехом; – скорость увеличения числа сторонников новшества.
Решением дифференциального уравнения называется любая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
График решения обыкновенного дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение , содержащее независимых произвольных постоянных .
Независимость произвольных постоянных означает, что ни одну из них нельзя выразить через другие и тем самым уменьшить их число.
Общим интегралом дифференциального уравнения -го порядка называется его общее решение, выраженное в виде неявной функции
.
Частным решением дифференциального уравнения -го порядка называется такое его решение, в котором произвольным постоянным приданы конкретные числовые значения. Для того, чтобы найти частное решение, необходимо задать дополнительные условия в некоторой точке . Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.