-
Раздел 7 дифференциальные уравнения Глава 15. Основные понятия
При изучении природных и общественных явлений не всегда удается непосредственно найти законы, которым подчиняются величины, характеризующие эти явления. В то же время можно установить зависимость между этими величинами и их производными или дифференциалами.
Зависимость, связывающая независимую переменную x, неизвестную функцию этой переменной и ее производные (или дифференциалы) различных порядков, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения.
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:
.
В частных случаях
в уравнение могут не входить
,
и ее некоторые производные порядка
ниже, чем
.
Пример 15.1. Уравнение радиоактивного распада
,
где
– постоянная распада,
– количество неразложившегося
вещества в момент времени
,
скорость распада
пропорциональна количеству распадающегося
вещества.
Пример
15.2. Уравнение
движения точки массы
под влиянием силы
(второй закон Ньютона)
.
Произведение массы на ускорение равно силе, которая зависит от времени, положения точки и ее скорости.
Пример 15.3. Уравнение распространения эпидемий,
,
где
– число незараженных индивидов в момент
времени
,
и
– число зараженных и незараженных людей
в начальный момент времени соответственно,
– коэффициент пропорциональности
(зависит от вида инфекции).
Пример 15.4. “Уравнение социальной диффузии” (Дж. Коулмен),
,
представляет
собой модель распространения новшеств,
т.е. распространения в определенных
социальных группах образцов поведения,
моды, информации, культурных новинок.
Здесь
– число сторонников новшества в
данный момент времени;
– общая численность рассматриваемой
группы;
– число контактов, завязываемых каждым
сторонником в единицу времени;
– коэффициент, изменяющийся от 0 до 1 и
отражающий тот факт, что не каждый
контакт сторонника новшества с
несторонником предполагает агитирование
последнего, а также то, что не каждая
агитация заканчивается успехом;
– скорость увеличения числа сторонников
новшества.
Решением дифференциального уравнения называется любая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
График решения обыкновенного дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением
дифференциального уравнения n-го
порядка называется его решение
,
содержащее
независимых произвольных постоянных
.
Независимость произвольных постоянных означает, что ни одну из них нельзя выразить через другие и тем самым уменьшить их число.
Общим интегралом
дифференциального уравнения
-го
порядка называется его общее решение,
выраженное в виде неявной функции
.
Частным решением
дифференциального уравнения
-го
порядка называется такое его решение,
в котором произвольным постоянным
приданы конкретные числовые значения.
Для того, чтобы найти частное решение,
необходимо задать дополнительные
условия в некоторой точке
.
Такая задача называется задачей с
начальными условиями или задачей
Коши.