Балаковский институт техники, технологии и управления (филиал)

ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Введение в Построение математических моделей элементов систем управления

Методические указания

к выполнению лабораторной работы по курсу

«Теория автоматического управления»

для студентов специальности 120100

всех форм обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2010

Цель работы

Данная работа является второй из комплекса работ по введению в анализ систем автоматического регулирования машиностроительных процессов. Целью данной работы является освоение простых математических моделей элементов систем управления.

Основные понятия

При анализе систем управления используются математические модели элементов систем управления в виде дифференциальных уравнений, передаточных функций. В данной работе анализируются простые динамические звенья: безинерционное, апериодическое звено первого порядка, интегрирующее звено, реальное интегрирующее звено, колебательное звено. Математические модели данных звеньев строятся в виде передаточных функций, которые находятся на основании паспортных данных элементов системы или на основании мысленных экспериментов и условных кривых переходных процессов.

1. Построение математической модели апериодического звена 1 порядка

Апериодические звенья первого порядка имеют апериодический (непериодический) экспоненциальный вид переходного процесса и описываются дифференциальным уравнением первого порядка

.

Наличие экспоненциального переходного процесса определяется наличием одного корня характеристического уравнения данного дифференциального уравнения элемента. Динамические характеристики звена определяются двумя параметрами: коэффициентом передачиkи постоянной времениТ.

Передаточная функция апериодического звена первого порядкаимеет вид

.

Параметры модели определяются на основании паспортных данных элемента или на основании экспериментальной кривой переходного процесса при ступенчатом изменении входного сигнала. Коэффициент передачи может быть также определен на основании статической характеристики элемента. Методы определения параметров модели данного звена рассмотрим на примерах.

Пример1: Пусть для измерения регулируемой переменной используется датчик температуры с пневматическим выходным сигналом.

Диапазон изменения температуры датчика составляет 0-100⁰С, диапазон изменения выходного сигнала датчика 0,2-1,0 кгс/см². Статическая характеристика имеет вид, показанный на рис. 1. Коэффициент передачи датчика

Пусть в паспорте указано время выхода на установившееся значение

Тогда из известного соотношения, что время вхождения экспоненты в 5%-ный коридор от нового значения составляет постоянная времени элемента равна

Тогда передаточная функция будет иметь вид

П

ример 2: Допустим, что надо стабилизировать температуру Т_зад = 420С. В

качестве датчика используется термопара. Пусть термопара работает с нор-

мирующим преобразователем ПТТП, преобразующим сигнал термопары в сигнал постоянного тока 0 – 5 мА (рис. 2). За счет изменения термоЭДС на спае двух различных металлов термопара выдает электрический сигнал согласно своей градуировке. Например, в диапазоне 0 – 600⁰С термопара выдает эдс 44 – 68 мВ. Преобразователь ПТТП настраивается на данный диапазон входного сигнала. Статическая характеристика ПТТП имеет вид, представленный на рис. 3.

Коэффициент передачи равен

При времени переходного процесса

передаточная функция будет иметь вид

Пример 3. Построение модели инерционного звена на основе экспериментальной кривой переходного процесса. Построим математическую модель камеры для нагрева заготовок. Нагрев камеры производится электрическими нагревательными элементами. При изменении тока нагревательных элементов с дотемпература в камере изменилась с начальной температурыдопо графику, приведенному на рис. 4.

Переходной процесс экспоненциальный, следовательно, можно использовать модель первого порядка .

Находим коэффициент передачи объекта управления по отношению приращений выходной величины к входной

.

Постоянную времени можно определить тремя способами.

Первый вариант согласно описанной выше методике

.

Полученная передаточная функция

.

Второй вариант определения постоянной времени – провести касательную к кривой переходного процесса в начале координат, пересечение касательной и линии установившегося значения происходит через время .

Третий вариант определения постоянной времени – провести горизонтальную времени на уровне 63% от приращения выходной переменной. Эта линия пересечет линию переходного процесса также при .