Центральный институт непрерывного образования (Общество «Знание» России) БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ

Метод гармонического баланса

Методические указания для студентов

специальностей:

210100 (код 65) - Управление и информатика в технических системах;

080507 (код 65) – Менеджмент организации;

080801 (код 65) – Прикладная информатика (в автомобилях и

автомобильном хозяйстве).

Одобрено Редакционно-издательским советом Балаковского Института Бизнеса и Управления

Балаково 2007

Цель работы: Ознакомится с методам гармонической линеаризации нелинейностей и методами расчета параметров автоколебаний в нелинейных системах.

Основные сведения

В практической работе исследуется САУ, в которой можно выделить линейную часть, описываемую передаточной функцией и нелинейную часть, описываемую гармонически линеаризованной характеристикой W_н (А), где А - амплитуда колебаний на входе нелинейного звена (рисунок 1).

V



f

y

Рисунок 1. Структурная схема системы

Метод гармонического баланса основывается на методе гармонической линеаризации нелинейностей. Предполагается, что в исследуемой системе (рисунок 1) входной сигнал V=0 и на входе нелинейного звена действует синусоидальный сигнал =Аsin(wt). При этом выходной сигнал нелинейного звена, являясь периодическим, разлагается в ряд Фурье и содержит гармонические составляющие с частотами, кратными частоте входного сигнала : w, 2w, 3w, 4w и т.д. Полагают, что этот сигнал, проходя через линейную часть, фильтруется ею до такой степени, что всеми высшими гармониками можно пренебречь. Такое предположение называют “гипотезой фильтра”, и оно является необходимым условием гармонического баланса.

Основное уравнение метода гармонического баланса имеет вид:

1+W_н(А)W_л(jw)=0. (1)

Решая его относительно w и А, можно определить параметры автоколебаний в системе.

Л.С.Гольдфарб предложил решать это уравнение графоаналитическим способом, преобразовав предварительно его к виду:

(2)

На комплексной плоскости строится АФХ линейной части системы W_л(jw) и отрицательная обратная характеристика нелинейного элемента W_н^-1(А). Точки пересечения этих характеристик и дают решение уравнения (1). По характеристике W_н^-1(А) определяют амплитуду автоколебаний, а по характеристике W_л (jw) - частоту.

По методу Коченбургера уравнение (1) преобразуется к виду:

(3)

решение его находят так же как и в предыдущем случае.

Решение уравнения (1) может соответствовать как устойчивым, так и неустойчивым автоколебаниям. Для решения вопроса об устойчивости автоколебаний пользуются правилом (в методе Гольдфарба и Коченбургера): наносят штриховку слева на годограф линейной части, двигаясь по нему в сторону возрастания частоты. Затем анализируют точку пересечения характеристик. Если при увеличении амплитуды колебаний по сравнению с точкой пересечения, точка на характеристике W_н (А) попадает в заштрихованную область, то автоколебания устойчивы, и наоборот.

Передаточная функция гармонически линеаризованной симметричной нелинейной характеристики имеет вид:

W_н(А)=q₁(A)+jq₂(A), (4)

где выражения для q₁ и q₂ некоторых стандартных нелинейностей приведены в таблице 1.