Центральный институт непрерывного образования (Общество «Знание» России) БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ

Анализ свойств нелинейных сау с разнотемповыми движениями

Методические указания для студентов

специальностей:

210100 (код 65) - Управление и информатика в технических системах;

080507 (код 65) – Менеджмент организации;

080801 (код 65) – Прикладная информатика (в автомобилях и

автомобильном хозяйстве).

Одобрено Редакционно-издательским советом Балаковского Института Бизнеса и Управления

Балаково 2007

Цель работы: Исследовать возможность разделения движений в системе при наличии малых инерционностей и оценить влияние различных параметров как на полное движение, так и на отдельные его составляющие.

Основные сведения

Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями общих методов решения, которых нет. Анализ систем выполняется обходимыми приемами, одним из которых является метод фазового пространства.

Фаза или состояние системы характеризуется рядом параметров: входной и выходной величиной, скоростного изменения выходной величины , точностью управления и т.д. Чем выше порядок системы, тем больше параметров, описывающих состояние системы. Для системы n-го порядка параметров, характеризующих состояние системы должно быть .

Набору координат соответствует n-мерное пространство с одноименными координатами осей. Это пространство называется фазовым. Если состояние системы меняется, то соответствующая точка начинает перемещаться в фазовом пространстве, вычерчивая кривую, называемую фазовой траекторией. Фазовая траектория является исчерпывающей характеристикой поведения системы.

В реальных системах наличие звеньев с малыми инерционностями может приводить к возникновению разнотемповых процессов, для выделения которых используют метод разделения движений. При этом уравнения исследуемой системы должны быть представлены в стандартной форме:

(1)

где функции и соизмеримы по норме в рабочей области пространства состояний.

Рисунок 1 – Траектории движения разнотемповых систем

Для систем типа (*) можно выделить две фазы движения:

1. движение из произвольных н.у. к поверхности.

2. движение вдоль поверхности.

Такие системы называют также системами с разнотемповыми процессами.

Свойства систем с разнотемповым движением:

1) При движении из начальных условий, не лежащих на поверхности , скорость изменения переменной на порядок выше, чем .

2) Если начальные условия находятся на поверхности , то скорости изменения переменных и будут соизмеримы.

В асимптотике поведение медленной составляющей движения описывается уравнениями:

Если теперь определить , то подставив его в уравнение для X, получим подсистему медленных движений в виде:

(2)

Поведение быстрой составляющей движения соответствует уравнению:

(3)

Как видно, системы (2) и (3) независимы, а степень разделения движений определяется численным значением .

Для линейных систем критерием разделимости движений может служить распределение корней на комплексной плоскости (рисунок 1). Формальной оценкой степени разделимости является величина:

(4)

где и - обобщенный корень соответственно подсистемы быстрых и медленных движений. Принято считать, что разделение движений справедливо с достаточной точностью, если .

Корни, расположенные вблизи начала координат, определяют медленную составляющую движений. Процессы, соответствующие далеким корням, протекают быстро.

В случае нелинейных систем можно анализировать корни линеаризованных подсистем быстрых и медленных движений. Однако эта процедура справедлива лишь в малой окрестности точки линеаризации. По этой причине основным условием применения метода разделения движений является физическое наличие в системе малых инерционностей или больших коэффициентов.