4. Математическая модель реального интегрирующего звена

Многие элементы не могут мгновенно набрать скорость изменения входного сигнала, пропорциональную входному сигналу. Поэтому в передаточной функции добавляется апериодическая составляющая, описывающая экспоненциальный процесс выхода скорости изменения выходной переменной на требуемое значение. Такое звено называется «реальным интегрирующим звеном». Оно описывается передаточной функцией

.

Реальное интегрирующее звено имеет переходной процесс с постепенным выходом на постоянную скорость роста выходного сигнала (линия 1 на рис. 8) по отношению с переходным процессом идеального интегрирующего звена (линия 2 на рис. 8). Такой переходной процесс имеет, например, электрический привод при его включении, вследствие плавного набора скорости.

Данное звено можно представить в виде последовательно включенных звеньев первого порядка и идеального интегрирующего звена (рис. 9).

Реальное интегрирующее звено характеризуется двумя параметрами извена первого порядка. Найдем значения данных параметров на основании экспериментальной переходной кривой изменения скорости двигателя при его включении по рассмотренной выше методике построения модели первого порядка.

Пусть при включении двигателя на напряжениедвигатель в течениепо экспоненциальной кривой набрал скорость, что соответствует угловой скорости(рис. 10).

Тогда коэффициент передачи по напряжению на скорость равен

.

Постоянную времени звена оценим по времени переходного процесса

.

Передаточная функция по скорости будет

.

Угол поворота выходного вала является интегралом от скорости

. Следовательно, чтобы преобразовать скорость выходного вала в угол поворота выходного вала следует добавить интегрирующее звено, что показано на рис. 9. Передаточная функция от напряжения на угол поворота выходного вала имеет вид

.

2. Математическая модель колебательного звена

Передаточная функция колебательного звена второго порядка обычно записывается в одном из двух видов

,

где -расчетная частота собственных колебаний системы,

- коэффициент затухания системы.

- фактическая частота собственных колебаний с учетом коэффициента затухания системы.

- коэффициент снижения частоты колебаний относительно собственной.

При система задемпфирована, переходные процессы апериодические,

система на границе демпфирования,

система колебательная,

- коэффициент при первой производной выходной переменной равен 0, система чисто колебательная.

Таким образом, при изменении от досистема изменяет свои характеристики от чисто колебательного звена до апериодического

звена второго порядка. Количественные значения параметров колебательного звена можно найти по кривой экспериментального переходного процесса.

Корни характеристического уравнения равны:

.

Колебательное звено переходит в апериодическое второго порядка при положительном выражении под квадратным корнем, т.е. при .

На рис. 11 приведен график переходного процесса колебательного звена с передаточной функцией

при подаче на вход ступенчатой функции .

По графику имеем:

- величина установившегося значения выходного сигнала В.

- величина первого максимума , В.

- величина второго максимума В.

- период колебаний сек.

Находим коэффициент передачи объекта .

На основании уравнений асимптот переходного процесса [К,Филипс]

Тогда

Учитывая, что мнимая часть корня звена равна фактической частоте

, получим .

Тогда .

Учитывая , запишем, или

Решая это нелинейное уравнение, можно по отношению амплитуд предыдущего и последующего колебаний найти коэффициент демпфирования звена.

Решить уравнение удобно в Excel путем использования функции «Подбор параметра». Для этого, например, в одной ячейке рассчитывается выражение , во второй ячейке задается любое значение, в третьей ячейке при заданном значениирассчитывается. Затем вызывается функция «Подбор параметра» и решается задача подбора такого значения, чтобы расчетное значение в третьей ячейке стало равным расчетному значению в первой ячейке.

Для рассматриваемого случая . При значениивыражениетакже равно.

Находим собственную круговую частоту .

Коэффициент при второй производной .

Коэффициент при первой производной .

Коэффициент при переменной при такой форме модели всегда равен .

Тогда передаточная функция колебательного звена, полученная на основании анализа кривой переходного процесса ,

что совпадает с исходной математической моделью элемента.