Решение:

Сложные элементы автоматических систем и сами автоматические системы состоят из некоторого числа соединенных между собой динамических звеньев. Наиболее простыми и часто встречающимися соединениями являются последовательное (рисунок 1,а), параллельное (1,б) и соединение, называемое встречно-параллельным или - охват звена обратной связью (рисунок 1,в)

a)

б)

в)

Рисунок 1 - Типовые соединения динамических звеньев: а) последо­ватель­ное; б) параллельное; в) звено , охваченное обратной связью посредством звена

При последовательном соединении выходная величина каждого из звеньев, кроме последнего, служит входной величиной последующего звена. Эквивалентная передаточная функция последовательного соединения в общем случае определяется по формуле

(1)

При параллельном соединении все звенья имеют одну и ту же входную величину, а их выходные величины суммируются. Передаточная функция параллельного соединения n звеньев равна

(2)

Соединение звеньев, представленное на рисунок 1,в приводит к образованию замкнутой системы и состоит из двух звеньев. Звено с передаточной функцией является прямой цепью передачи сигналов, а звено с передаточной функцией осуществляет обратную связь. Обратная связь это воздействие выходной величины какого-то звена на его вход. Если это воздействие совпадает по знаку с входной величиной, то обратная связь - положительная. В противном случае обратная связь - отрицательная.

Передаточная функция замкнутой автоматической системы

(3)

где знак "+" в знаменателе соответствует отрицательной обратной связи и знак "-" - положительной.

Исходя из вышеизложенного определим передаточную функцию разомкнутой системы.

.

Передаточную функцию замкнутой системы найдем по формуле 3:

Упростив выражение, получим:

Исследуем систему на устойчивость по критерию Найквиста.

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системе W(iω) при изменении ω от 0 до ∞ охватывал l/2 раз в положительном направлении точку (-1,i0),где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Известно, что данная система в разомкнутом состоянии является устойчивой. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф W(iω) при изменении ω от 0 до ∞ не охватывал точку (-1,i0).

Частотный годограф Найквиста

В нашем случае условие выполняется, следовательно система устойчива в замкнутом состоянии.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Для устойчивости линейной САУ, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры определителя Гурвица:

Запишем характеристический полином замкнутой системы.

Составим матрицу Гурвица:

Поскольку определители ∆₂ и ∆₃ положительны, система является устойчивой.

Таким образом, мы исследовали систему на устойчивость.

Вывод: данная система является устойчивой.

Теоретические вопросы

1. Классификация автоматических регуляторов.

2. Критерий устойчивости Найквиста

Ответы

1. Классификация автоматических регуляторов.

Автоматические регуляторы классифицируются по разным признакам.

1. По виду регулируемого параметра: регуляторы давления, расход, уровня, температуры и так далее;

2. По роду действия: регуляторы прерывистые и не прерывистые;

3. По способу действия: регуляторы косвенного и прямого действия.

Эти виды классификации регуляторов не являются определяющими, так как не характеризуют их свойства. Основной признак, по которому классифицируются регуляторы независимо от принадлежности к одной из перечисленных выше групп, является характеристика действия, то есть зависимость между изменением регулируемой величины и перемещением регулирующего органа.

По характеристике действия регуляторы подразделяются на следующие:

• позиционные (Пз) регуляторы;

• интегральные (И) регуляторы;

• пропорциональные (П) регуляторы;

• пропорционально-интегральные (ПИ) регуляторы;

• дифференциальные (Д) регуляторы;

• (пропорционально-дифференциальные (ПД);

• пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД)

регуляторы).

Входной величиной регулятора является сигнал, пропорциональный разности между заданным и текущим значениями управляемой (регулируемой) величины; выходной – положение регулирующего органа.

2. Критерий устойчивости Найквиста.

Этот критерий отличается от критерия Михайлова тем, что об устойчивости замкнутой системы судят по виду амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, которую можно получить как аналитически, так и экспериментально. Это обстоятельство выгодно отличает рассматриваемый критерий устойчивости от ранее изложенных.

Пусть передаточная функция разомкнутой линейной САУ

, тогда .

Введём вспомогательную функцию

.

Числитель этой функции представляет собой левую часть характеристического уравнения замкнутой системы, а знаменатель – левую часть характеристического уравнения разомкнутой системы.

Рассмотрим годограф вспомогательной функции при изменении ω в пределах :

,

где - аргумент (фаза) функции (замкнутая система), - аргумент (фаза) функции (разомкнутая система). Требование устойчивости САУ в замкнутом состоянии выразится в равенстве (критерий Михайлова (11)), но

.

Пусть система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет l корней в правой полуплоскости (8), с учётом изменения ω от 0 до ∞

,

и, следовательно, из (11) и (12) имеем

.(13)

Так как вспомогательная функция отличается от частотной характеристики разомкнутой системы на +1, то условие устойчивости (13) можно непосредственно перенести на .

Теорема (критерий Найквиста). Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывал l/2 раз в положительном направлении точку (-1, i0), где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Из этой теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Если разомкнутая система устойчива (l=0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф при изменении ω от 0 до ∞ не охватывал точку (-1, i0).

Заметим, что для применении частотного критерия устойчивости Найквиста необходимо знать, устойчива или неустойчива система в разомкнутом состоянии. При этом, если система в разомкнутом состоянии неустойчива, то следует определить количество корней её характеристического уравнения, имеющих положительные вещественные части. Только в этом случае можно применить частотный критерий устойчивости Найквиста к исследованию устойчивости замкнутой системы.

Рисунок 2

Примеры годографов Найквиста статических САР ([0...+))

1. САР на колебательной границе устойчивости.

2. Абсолютно устойчивая САР (устойчива при любом уменьшении K).

3. Неустойчивая САР.

4. Условно устойчивая САР (только при изменении K в некотором диапазоне).

Список использованных источников:

1. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Изд-во «Профессия», Санкт- Петербург, 2004

2. Теория автоматического управления под ред. Яковлева В.Б. М.; Высшая школа, 2003

3. Ким Д.П. Теория автоматического управления (в 2-х частях). М.; Физматлит, 2007.