- •Що є предметом теорії імовірності?
- •2.Дати означення підмножини скінченної (нескінченної), зліченої і незліченої. Навести приклад.
- •3.Суми, різниці та добутку множин. Навести приклади.
- •4.Дати означення сполучення та розміщення із n елементів по k, переставлення із n елементів. Записати позначення. Навести приклади
- •5. Записати формулу, що пов’язує число переставлень, сполучень та розміщень. Сформулювати правила суми та добутку, що вик при розв’язуванні комбінаторних задач. Навести приклади.
- •7. Дати означення сумісних, несумісних та попарно несумісних подій. Навести приклади.
- •8. Дати означення суми (об’єднання), різниці та добутку (перетину) подій, протилежної події, повної групи подій. Навести приклади.
- •9. Як випадкова подія виражається через елементарні наслідки випадкового експерименту? Які елементарні наслідки називаються такими, що сприяють появі даної випадкової події? Навести приклади.
- •10. Дати означення поняття імовірності випадкової події. Сформулювати класичне визначення імовірності події і записати відповідну формулу. Навести приклади.
- •11.(Геометричне визначення).
- •12. Дати означення частоти та відносної частоти події.
- •13. Сформулювати теореми: а) про імовірність суми двох подій; б) про імовірність суми двох несумісних подій; в) про імовірність суми декількох попарно несумісних подій. Навести приклади.
- •14. Дати означення незалежності і залежності двох подій, умовної імовірності події, попарної незалежності декількох подій, незалежності у сукупності декількох подій. Навести приклади.
- •15. Записати формулу для обчислення імовірності хочаб однієї з декількох подій, незалежних у сукуупності.Пояснити букви, навести приклади.
- •16. Записати формули: а) повної імовірності; б) Байеса. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.
- •17. Навести умови схеми випробувань Бернуллі. Записати формулу Бернуллі. Навести приклади застосування.
- •18. Граничні теореми у схемі випробувань Бернуллі. А)Пуассона. Б) Локальну та інтегральну Лапласа.
- •19.Записати формули для обчислення в схемі Бернуллі: а)імовірності відхилення частоти від імовірності б)найбільш імовірного числа появи подій
- •20. Дати означення випадкової величини (в.В.), дискретної (д.В.В.) та неперервної випадкої величини (н.В.В.). Навести приклади.
- •21. Дати означення закону та багатокутника розподілу ймовірностей д.В.В. Навести приклади.
- •22. Дати означення а) інтегральної; б) диференціальної функції розподілу н.В.В. Вказати їх основні властивості. Навести приклади.
- •24. Пояснити, що характеризують: а) математичне сподівання; б) дисперсія та середнє квадратичне відхилення; в) асиметрія; г) ексцес; д) мода; е) медіана.
- •25. Довести основні властивості математичного сподівання і дисперсії.
- •27.Записати основні закони розподілу н.В.В.: а) рівномірний; б) нормальний; в) показниковий. Пояснити зміст букв. Навести приклади н.В.В., розподілених за цими законами.
- •28.Що в теорії ймовірностей розуміють під терміном «Закон великих чисел»? Записати нерівність а. Чебишова. Пояснити зміст букв.
- •29.Сформулювати основні теореми закону великих чисел: а) Бернуллі; б) Чебишова; в) Центральну граничну теорему. Пояснити зміст букв.
- •31.Дати означення системі випадкових величин. Навести приклади. Дати означення закону розподілу дискретної двовимірної випадкової величини. Навести приклади.
- •32.Дати означення ф-ціїї розподілу двв. Основні властивості ф-ції розподілу, її геометричний зміст.
- •33.Дати означеня щільностей ймовірностей двв. Основні властивості, імовірнісний зміст.
- •34.Записати ф-ли для обчислення ймовірностей попадання випадкової точки в довільну двомірну область d; в прямокутник.
- •35. Означення залежності (незалежності) випадкових величин, що входять в с-му вв. Теореми про необхідну та достатню умови незалежності.
- •39. Навести основні властивості кореляційного моменту μxy та коефіцієнту кореляції rxy
- •40. Дати означення корельованості (некорельованості) двох в.В. Пояснити різнцю і зв’язок між корельованістю (некорельованістю) і залежністю двох в.В.
- •41. Вивести рівняння лінійної середньоквадратичної регресії y на х(х на y). Пояснити зміст позначень.Дати означення коефіцієнту регресії , залишкової дисперсії та пояснити, що вони характеризують.
- •42. Сформулювати теорему про корельованість складових нормально розподіленої двовимірної в.В.
- •45. Вказати вв що мають розподіл: Персона х2, Стьюдента, Фішера
- •46. Предмет мс є розробка методів, збору і обробки інформації, аналізу результатів обробки з метою одержання науково-обгрунтованих висновків і вироблення практичних рекомендацій.
- •47.Озн генеральної та вибіркової сукупності, об’єму вибірки, повторної і без повторної, репрезентативної вибірки
- •48.Озн статистичної (емпіричної) ф-ї розподілу, різниця між емпіричною і теоретичною ф-єю. Побудова графіків
- •49. Кумулятивної частоти та частостей.
- •50.Означення полігону, гістограми, кумулятивної частоти та частостей.
- •51.Означення статистичної оцінки параметра розподілу ген сукупності, незаміщеної еф обгр оцінки.
- •52.Означення генеральної та вибіркової середньої, довести...
- •53.Означення генеральних та вибіркових дисперсій та середнього квадр відхилення, формули
- •54.Дати озн вибіркових: Моди, медіани , початкового моменту, центрального моменту, асиметрії, ексцесу.
- •55.Означення точкової та інтегральної оцінки параметра, точність, надійність, інтервальна оцінка, надійний інтеграл
- •56.Вивести формули обч кінців надійного інтервалу для оцінки мат сподівання нормального розподілу: з відомим значенням а та з невідомим значенням а. Сформ взаємозалежності.
- •58.Записати формули для обчислення кінців надійного інтервалу для оцінки середнього квадратичного відхилення нормального розподілу. Пояснити зміст позначень.
- •59.Дати означення емпіричної та теоретичної частот, формули для обч теоретичних частот розподілів : Пуассона, нормальної та генеральної сукупності
- •60.Дати озн функціональної, статистичної, кореляційної залежності, умовного середнього, вибіркових рівняння та лінії регресії.
- •61.Вивести формули для обч параметрів вибіркового рівн лінійної регресії : а) за не згрупованими даними, б) за згрупованими
- •62.Записати формулу для обч вибіркової кореляції кінців надійного інтервалу для інтерн. Оцінки коеф кореляції нормально розподіленої ген сукупності
- •63.Дати озн статист гіпотези, назв осн види, означ нульової, альтернативної гіпотез, помилки 1 і 2 роду
- •64.Означення статистичного критерію, спостереженого та теор значенню критерію, Крит обл., обл. Прийняття гіпотези, критичних точок, однобічної та двобічної Крит обл., лівоб та правоб крит обл
- •65.Дати озн рівня значущості, потужності критерії. Способи знах одноб та двоб критичної обл.
32.Дати означення ф-ціїї розподілу двв. Основні властивості ф-ції розподілу, її геометричний зміст.
Ф-цією розпділу двв (Х,У) називають ф-цію 2-х змінних F(х,у), яка визначає для кожної пари чисел (Х,У) імовірність виконання нерівностей X<x; Y<y, тобто F(x,y)=P(X<x; Y<y).
Аналогічно визначають ф-цію розподілу n вв: F(х1,х2,…,xn)= P(X<x; Y<y,…, Xn<xn)
Властивості:
0≤ F(x,y)≤1;
F(х,у)не спаднка ф-ція за кожним аргументом, тобто F(x2,y)≥ F(x1,y), якщо x2> x1; F(x,y2) >F(x,y1), якщо у2> у1;
Мають місце граничні співвідношення: F(-∞ ,y)=0; F(x1,∞-)=0; F(∞,∞)=1;
Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)}
Геометричний зміст ф-ї розподілу F(х,у) – це імовірність того, що випадкова точка М(Х,У), попаде у нескінченний прямокутник з вершиною в т.(Х,У) і розміщений нижче та лівіше цієї вершини М(Х,У)
33.Дати означеня щільностей ймовірностей двв. Основні властивості, імовірнісний зміст.
2-хвимірною щільністю ймовірностей f(х,у) двв (Х,У) називаєть другу мішану частинну похідну від інтегральної ф-ції розподілу:
Якщо відома щільність імовірностей f(х,у) двв, то її ф-цію розподілу знаходять за ф-лою:
Імовірність влучення випадквої точки (Х,У) в довільну облась D знаходять:
P((X,Y,)єD)=
Властивості: 1) f(х,у)≥0, вона не від’ємна; 2)
34.Записати ф-ли для обчислення ймовірностей попадання випадкової точки в довільну двомірну область d; в прямокутник.
Імовірність влучення випадквої точки (Х,У) в довільну облась D знаходять: P((X,Y,)єD)=∫∫df(х,у)dxdy
Р- ймовірність влучення точки;
f(х,у)- щільність розподілу
Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)}
х,у – координати точки в просторі
F(х,у)-ф-ція розподілу.
35. Означення залежності (незалежності) випадкових величин, що входять в с-му вв. Теореми про необхідну та достатню умови незалежності.
Дві випадкові величини наз. незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, які ймовірні значення прийняла інша величина. Отже, умовні розподіли незалажних величин дорівнюють їхнім умовним розподілам.
Теорема: для того щоб випадкові величини X і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб функція розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку функцій розподілу складових :
Необхідно: F (x, y) = F1(x) F2(y).
Достотньо : нехай F(x, y) = F1(x) F2(y). Звідси P(X<x, Y<y) = P(X < x) P (Y<y).
Звідси для того щоб неперервні випадкові величини X і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб щільність спільного розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку щільностей розподілу складових : f (x,y) = f1(x)f2 (y). Достатньо F (x, y) = F1(x) F2(y).
36. Дати означення основних числових характеристик в.в.: а) математичного сподівання; б) дисперсії; в) початкового та центрального моментів; г) асиметрії; д) ексцесу; е) моди; ж) медіани. Записати формулу
для їх обчислення для д.в.в. та н.в.в.
а) Мат., сподівання:1) д.в.в. M[X] = mx=∑xipi; 2)н.в.в. M[X]=;
б) Дисперсія :1)д.в.в. D[X]=(xi-mx)2Pi; 2) н.в.в.D[X]=
в) початкового та центрального моментів: 1) початковим моментом порядка k випадкової величини X наз математичним сподівання величини Xk: У часному випадку початковий момент першого порядку = мат.,сподіванню . 2) Центральним моментом порядка k випадкової величини Х наз., мат., сподівання величини [X-M(X)]k:
г) Асиметрія m3 - центральний епмпіричний момент третього порядка. Використовується для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального .
д) Ексцесс m4- центральний емпіричний момент четвертого порядку.
е) Мода-М0 наз., варіанту ,яка має найбільшу частоту
ж) Медіаной Ме- наз., варіанту ,яка ділить варіаційний ряд на дві частини , рівні по числу варіант .
37. Ф-ли для знаходження ф-ції розподілу та щільності ймовірностей складних с-м ВВ.
Функцією розподілу ймовірностей С.В.В. наз. така функція двох змінних F (x, y) , що її значення в кожній в.в. точці дорівнює F (x, y) = P(X<x; Y<y)
Функція щільності розподілу наз. другу змішану похідну від функцію розподілу:
f (x, y) =2 F (x, y)/ xy.