12. Дати означення частоти та відносної частоти події.

Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, наз. частотою. Відношення частоти варіанти до об’єму вибірки наз. відносною частотою, причому, сума усіх відносних частот .

13. Сформулювати теореми: а) про імовірність суми двох подій; б) про імовірність суми двох несумісних подій; в) про імовірність суми декількох попарно несумісних подій. Навести приклади.

Сумою A+B двох подій A і B називають подію, яка полягає в появі події А, або події В, або обох цих подій. Н.: якщо із рушниці зроблено два вистріли і А – попадання при першому вистрілі, В – попадання при другому вистрілі, то А+В – попадання при першому вистрілі, або при другому, або під час обох вистрілів.

Теорема додавання імовірностей несумісних подій. Ймовірність появи однієї іх двох несумісних подій, без різниці якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Наслідок. Імовірність появи однієї із декількох попарно несумісних подій, без різниці якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P(A1+A2+…+An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An)

14. Дати означення незалежності і залежності двох подій, умовної імовірності події, попарної незалежності декількох подій, незалежності у сукупності декількох подій. Навести приклади.

Подія B – незалежна від події А, якщо поява події А не змінює імовірності події В, тобто якщо умовна імовірність події В дорівнює його безумовної ймовірності:

PA(B) = P(B). Так само PB(A) = P(A). Дві події наз-ся незалежними, якщо імовірність їх суміщення дорівнює добутку ймовірностей цих подій, в іншому разі події називають залежними.

Декілька подій наз-ють попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні.

Декілька подій називають незалежними в сукупності (або просто незалежними), якщо незалежні кожні дві із них і незалежна кожна подія і всі можливі добутки інших.

Умовною імовірністю PA(B) називають імовірність події В, обчислену за умови, що подія А уже наступила.

15. Записати формулу для обчислення імовірності хочаб однієї з декількох подій, незалежних у сукуупності.Пояснити букви, навести приклади.

Події називаються незалежними якщо імовірність появи однієї не залежить від появи або не появи іншої. P=a/n-імовірність певної події,а-кількісь наслідків єксперименту, коли відбвається певна подія. N-загальна кількість наслідків експерименту.Тож імовірність появи хоча б одієї події буде Р=Р1+Р2...+Рn,де Р1,Р2, Рn імовірності появи незалежних подій.Приклад:кидання двох монет, поява орла чи решки внаслідок киданя однієї монети не залежить від результату кидання другої монети.Потрібно додати що якщо події незалежні то умовна імовірність події дорівнює її безумовнії імовірності.

16. Записати формули: а) повної імовірності; б) Байеса. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.

Ймовірність події А, яка може наступити лише при появі В1, В2..Вn, що створюють повну групу подій дорівнюють сумі добутків ймовірностей кожної з подій на відповідну умову ймовірності події А: P (A) = P(B₁) P_B1(A) + P(B₂) P_B2(A) +…+ P (B_n) P_Bn(A)-(повна ймовірність)

P(B₁+B₂ +…+B_n)=1-створюють повну групу подій.

Формула Байеса дозволяєопочнювати ймовірність можливості появи тієї чи іншої події, при умові, що вона вже сталася.

Нахай подія А може наступити лише при умові появи події з несумісних подій або гіпотез В1, В2..Вn, що створюють повну групу подій. Якщо подія А вже наступила, то ймовірності гіпотез можуть бути переоціненими за формулою Байеса: P_A(B_i)=P(B_i)P_Bi(A)/(P(B)P_B1(A)+P(B₂)P_B2(A)+…+P(B_n)P_Bn(A)) або P_A(B_i)=P(B_i)P_Bi(A)/ P (A).