17. Навести умови схеми випробувань Бернуллі. Записати формулу Бернуллі. Навести приклади застосування.

Якщо усі випробовувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А в усіх випробовуваннях однакова та не залежить від появи або не появи А в інших випробовуваннях, то таку послідовність незалежних випробовувань називають схемою Бернуллі. P_n(M)= C_n^m* p^m*q^n-m формула Бернулі. Вона дозволяє знаходити імовірність появи події А M разів при n випробовуваннях, які утворюють схему Бернуллі.

18. Граничні теореми у схемі випробувань Бернуллі. А)Пуассона. Б) Локальну та інтегральну Лапласа.

Пуассона: якщо при проведенні випробувань за схемою Бернуллі число випробовувань достатньо велике (n→∞), а імовірність - достатньо мала (p→0) то з формули Бернуллі можна вивести формулу Пуассона: P_n(k)≈λ^k / k! * e^-λ , де λ=n·p, k – число появи події в n незалежних випробуваннях.

Локальна Лапласа:Якщо при проведенні випробовувань за схемою Бернуллі число випробовувань достатньо велике, а імовірність суттєво відрізняється від 0 та 1, то має місце лок лапласа. Pn(k)=(1/√(npq))*φ(x). φ(x)=(1/√(2π))*e^-x2/2. x'=(k-np)/√(npq) Приклад:імовірність помилки в митній справі=0,2. Знайти імовірність того, що в 400 оформленнях помилок буде 100. p=0,2. n=400 k=100: √(npq)=√(400*0,2*0,8)=8, x'=(100-400*0,2)/8=2,5. φ(2,5)=0,175, Р₄₀₀(100)=0,0175/8.

Інтегральна Лапласа: Якщо при проведенні випробувань за схемою Бернуллі число випробовувань достатньо велике (прямує до нескінченності) а імовірність суттєво відрізняється від 0 та 1, то ймовірність того, що подія настане від k₁ до k₂ разів: P_n(k₁;k₂)=Ф(x₂)-Ф(x₁) Ф(x)=∫0x φ(t)dt-інтегральна Лапласа. φ(t)-локальна лапласа.

19.Записати формули для обчислення в схемі Бернуллі: а)імовірності відхилення частоти від імовірності б)найбільш імовірного числа появи подій

Нехай проводиться випробовування за схемою Бернуллі і виконуються умови теореми Лапласа про значення р та n треба знайти хоча б наближено імовірність того, що відхилення (частість)(відносна частота)m/n від постійної імовірності р не перевищує заданого числа ε>0. за допомогою нерівності|m/n-p|<= ε а також користуючись інтегральною теоремою Лапласа отримаємо p={|k/n-p|< ε }= Ф(-ε√n/pq)+ Ф(-ε√n/pq)=2 Ф(-ε√n/pq). За формулою Бернуллі: Pn(k0)=n!/(k0(n-k0))!*pk0q(n-k0)

1)якщо число(n+1)p натуральне, то згачень 2. а)k0'=(n+1)p або б) k0'=(n+1)p-1

2)Припустимо (n+1) p-дробове число, тоді k0=цілій частині цього числа k0=[ (n+1)p]

Приклад: Припустимо що частина курсантыв що вчаться без 3-70%, р=0,7-курсант без 3.Знайти найбыльшу ымовырнысть Р(А) курсантыв що вчаться без 3. n=250. (n+1)p=251-0,7

K0=[251*0.7]=175

20. Дати означення випадкової величини (в.В.), дискретної (д.В.В.) та неперервної випадкої величини (н.В.В.). Навести приклади.

Випадковою величиною називають таку величину, яка в наслідок втпробування, може прийняти лише одне числове значення, заздалегідь невідоме і обумовлене випадковими причинами.

Випадкові величини бувають дискретними та непевними.

Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може приймати відокремлені ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати) з відповідними ймовірностями. Наприклад, кількість влучень у мішень при трьох пострілах буде Х: 0, 1, 2, 3. Отже, Х може приймати чотири ізольовані числові значення з різними ймовірностями. Тому Х — дискретна випадкова величина.

Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають величину, яка може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченного або нескінченного інтервалу (a, b). Кількість можливих значень такої величини є нескінченна.

Наприклад, величина похибки, яка може бути при вимірюванні відстані; час безвідмовної роботи приладу; зріст людини; розміри деталі, яку виготовляє станок-автомат.