Завдання для самостійної роботи
Завдання 2.1
Визначити тип рівняння і звести його до канонічного вигляду в кожній з областей, де зберігається тип розглядуваного рівняння.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15
16.
|
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
Завдання 2.2
В кожній області, де зберігається тип рівняння, звести його до канонічного вигляду.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
|
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
Завдання 2.3
Знайти розв’язок задачі Коші, використовуючи формулу Д’Аламбера
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. |
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
|
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Тема 3 метод фур'є
Метод
Фур’є, або метод відокремлення змінних,
є одним із найбільш розповсюджених
методів розв’язування диференціальних
рівнянь у частинних похідних. Цей метод
базується на узагальненому принципі
суперпозиції: якщо кожна з функцій
є
розв’язком однорідного лінійного
диференціального рівняння, то ряд
також є розв’язком цього рівняння, якщо
він збігається до деякої функції
і можливе його почленне диференціювання.
3.1 Розв’язання методом Фур’є першої крайової задачі для рівняння малих поперечних коливань струни
Нехай
маємо рівняння малих поперечних коливань
струни
з крайовими умовами
та початковими умовами
;
.
Будемо шукати розв’язок рівняння (1.3), що задовольняє крайові умови (1.4), у вигляді добутку двох функцій Х(х) і Т(t):
. (3.1)
Щоб визначити функції Х(х) і Т(t), підставимо розв’язок (3.1) у рівняння (1.3). Для цього спочатку знайдемо
,
. (3.2)
Тоді отримаємо
, (3.3)
або
. (3.4)
Рівність (3.4) має місце лише у випадку, коли обидва співвідношення дорівнюють константі.
Нехай
,
де
.
Звідки отримуємо два лінійних однорідних
диференціальних рівняння другого
порядку із сталими коефіцієнтами
(3.5)
та
. (3.6)
Характеристичні рівняння рівнянь (3.5) та (3.6) такі
(3.7)
та
(3.8)
Враховуючи (3.7) та (3.8) одержуємо загальний розв’язок рівняння (3.5)
(3.9)
та рівняння (3.6)
. (3.10)
Коефіцієнти
А
та В
мають бути такими, щоб функція
задовольняла
крайові умови
.
Звідки
,
тому
.
Оскільки
,
то
,
,
,
де
. (3.11)
При
цьому λ
називають
власним
значенням функції
,
а функції
називають власними
функціями.
Зауваження.
Припустимо, що ми взяли не
,
а наприклад
,
тоді розв’язком рівняння
буде функція
.
В цьому випадку не існує таких значень
А
та
В, при
яких функція
задовольняла б крайові умови.
Таким чином, розв’язок рівняння малих поперечних коливань струни (1.3) такий:
(3.12)
або
,
де
і
.
(3.13)
Загальний розв’язок хвильового рівняння згідно з узагальненим принципом суперпозиції шукається за формулою:
.
(3.14)
Рівняння
(3.14) буде розв’язком рівняння (1.3) тоді,
коли коефіцієнти
та
будуть такими, що збіжним буде як ряд
(3.14), так і ряди, отримані після двократного
диференціювання ряду (3.14) за змінною
і за змінною
.
Розв’язок
рівняння (3.14)
має задовольняти початкову умову
,тому
. (3.15)
Якщо
функцію
на проміжку
можна
розкласти у ряд Фур’є,
то рівність (3.15)
виконується лише тоді, коли
. (3.16)
Щоб
знайти коефіцієнти
скористаємось другою початковою умовою
.
Маємо
. (3.17)
Згідно з (3.17)
. (3.18)
Якщо
на проміжку
функція
розвивається у ряд Фур’є,
то рівність (3.18)
має місце лише у випадку, коли
,
. (3.19)