2. Регрессионный анализ (поиск формы и уравнения связи)

1 этап. Выбор формы связи между признаками

На основании рисунка 6.1 предположим, что связь между стоимостью собственных оборотных средств и средним размером активов описывается линейным уравнением регрессии .

2 этап. Построение уравнения связи

Для расчета коэффициентов a₀, a₁ линейного уравнения регрессии построим таблицу вспомогательных расчетов 6.3.

Составим систему нормальных уравнений для линейной формы связи между факторным признаком и результативным признаком :

Таблица 6.3

Таблица вспомогательных расчетов для построения уравнения регрессии

№ предприятия	№ предприятия п/п	Стоимость СОС, млн. руб.	Размер балансовой прибыли, млн. руб.	Вспомогательные расчеты
						Выровненные значения по уравнению прямой
	i	()	()	xi ∙ yi
1	2	3	4	5	6	7
63	1	62,0	50,0	3 100,00	3 844,00	44,7
97	2	63,5	50,0	3 175,00	4 032,25	45,6
101	3	88,4	59,0	5 215,60	7 814,56	59,8
117	4	91,2	51,0	4 651,20	8 317,44	61,5
89	5	91,2	59,5	5 426,40	8 317,44	61,5
45	6	94,7	59,5	5 634,65	8 968,09	63,5
47	7	101,5	66,0	6 699,00	10 302,25	67,4
43	8	104,9	59,0	6 189,10	11 004,01	69,3
51	9	105,1	71,0	7 462,10	11 046,01	69,4
67	10	105,1	71,0	7 462,10	11 046,01	69,4
103	11	115,7	72,0	8 330,40	13 386,49	75,5
55	12	116,3	82,5	9 594,75	13 525,69	75,9
75	13	116,5	82,5	9 611,25	13 572,25	76,0
65	14	116,9	76,0	8 884,40	13 665,61	76,2
49	15	116,9	78,5	9 176,65	13 665,61	76,2
91	16	117,1	75,0	8 782,50	13 712,41	76,3
115	17	118,1	74,0	8 739,40	13 947,61	76,9
119	18	118,1	74,0	8 739,40	13 947,61	76,9
87	19	118,1	76,0	8 975,60	13 947,61	76,9
93	20	118,3	76,0	8 990,80	13 994,89	77,0
79	21	119,3	76,0	9 066,80	14 232,49	77,6
107	22	119,3	76,0	9 066,80	14 232,49	77,6
59	23	119,3	83,5	9 961,55	14 232,49	77,6
121	24	123,0	83,5	10 270,50	15 129,00	79,7
53	25	127,2	82,5	10 494,00	16 179,84	82,1
69	26	127,2	85,0	10 812,00	16 179,84	82,1
57	27	127,6	85,0	10 846,00	16 281,76	82,4
77	28	137,6	89,5	12 315,20	18 933,76	88,1
81	29	138,6	89,5	12 404,70	19 209,96	88,7
105	30	138,6	89,5	12 404,70	19 209,96	88,7
109	31	138,6	89,5	12 404,70	19 209,96	88,7
99	32	146,3	95,0	13 898,50	21 403,69	93,1
71	33	146,3	95,5	13 971,65	21 403,69	93,1
111	34	153,1	92,5	14 161,75	23 439,61	97,0
83	35	163,0	101,5	16 544,50	26 569,00	102,7
61	36	163,0	106,0	17 278,00	26 569,00	102,7
123	37	163,2	100,0	16 320,00	26 634,24	102,8
95	38	163,2	101,5	16 564,80	26 634,24	102,8
113	39	173,0	106,0	18 338,00	29 929,00	108,4
85	40	173,0	110,0	19 030,00	29 929,00	108,4
Сумма		4 940	3 200	410 994,45	637 600,86	3 200

На основании данных таблицы 6.3 систему нормальных уравнений для выявления связи между факторным признаком – стоимость собственных оборотных средств предприятия – и результативным признаком – размер балансовой прибыли предприятия – можно записать в следующем виде:

Решив систему уравнений, получаем значения параметров:

=9,097 ; =0,574.

Таким образом, линейное уравнение связи принимает вид: . Подставляя в него поочередно все значения стоимости СОС x_i, получаем теоретические значения размера балансовой прибыли (столбец 7 таблицы 6.3). Правильность произведенных расчетов подтверждает тот факт, что сумма теоретических уровней ряда равна сумме фактических уровней:

3200 млн. руб.

Параметр – коэффициент регрессии – показывает, что при увеличении стоимости собственных оборотных средств на 1 млн. руб. средний размер балансовой прибыли увеличивается на 0,574 млн. руб. (574 млн. руб.) и, наоборот, при снижении стоимости собственных оборотных средств на 1 млн. руб. средний размер балансовой прибыли уменьшается на 574 млн. руб.

Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении стоимости оборотных средств на 1% размер балансовой прибыли увеличивается на 0,89%, и наоборот.

Оценим среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии ():

где – число параметров уравнения регрессии (для уравнения прямой =2).

Поскольку _у (пункт 1г задания 4: _у= млн. руб.), то использование линейного уравнения регрессии является целесообразным.

Отдельно оценим средние квадратические ошибки параметров уравнения регрессии по формулам:

млн. руб.; ,

где

Нанесем фактические и теоретические значения активов, а также линию среднего размера балансовой прибыли на график (рис. 6.2).

Как видно из рисунка 6.2, переменная средняя (линия теоретических значений) сильно отличается от постоянной средней, что говорит о значительном влиянии фактора х (стоимости СОС) на результативный признак y (размер балансовой прибыли). Однако несовпадение линии теоретических и фактических значений размера балансовой прибыли говорит о том, что связь между стоимостью СОС и размером балансовой прибыли не функциональная (не полная).

Рис. 6.2. Эмпирические линии регрессии фактических и теоретических значений балансовой прибыли в зависимости от стоимости СОС, постоянная средняя линия

Измерим степень близости связи к функциональной.

3 этап. Измерение тесноты связи между признаками

Рассчитаем все виды дисперсий:

- общая дисперсия, измеряющая общую вариацию результативного признака за счет действия всех факторов:

(общая дисперсия также была рассчитана в задании 4);

- факторная (теоретическая) дисперсия, измеряющая вариацию результативного признака у за счет действия только факторного признака х:

;

- остаточная дисперсия, характеризующая вариацию признака у за счет всех факторов, кроме х:

.

Проверим, выполняется ли правило сложения дисперсий:

227 + 14 = 241 (верно).

Оценим тесноту связи численно с помощью ряда показателей:

1. Коэффициент детерминации:

- удельный вес вариации результативного признака, линейно связанной с вариацией факторного признака, составляет 94,2%.

2. Индекс корреляции (теоретическое корреляционное отношение) составляет:

- поскольку численное значение индекса корреляции близко к единице, то линейная связь между стоимостью собственных оборотных средств и балансовой прибыли сильная (тесная).

3. Линейный коэффициент корреляции:

,

где ;

(млн. руб.); млн. руб.;

_у= млн. руб.;

.

Поскольку линейный коэффициент вариации положителен, то связь между признаками прямая, т.к. он близок к единице – связь тесная.

4 этап. Проверка существенности связи с использованием критерия Фишера:

где – число параметров уравнения регрессии (у прямой два параметра).

Критическое значение критерия Фишера для v₁=1 и v₂=38 составляет: F_кр =4,1 (прил. 2). Поскольку полученное значение F_расч  F_кр , то существенность линейной связи между стоимостью собственных оборотных средств и размером балансовой прибыли предприятия подтверждается.

Общий вывод по заданию 6 сформулируйте самостоятельно.