§ 5. Векторные пространства.
Пример 1. Доказать, что следующее множество образует векторное пространство над полем относительно операций сложения матриц и умножения матриц на число.
Найти его базис и размерность.
.
Решение. является непустым подмножеством пространства матриц размерности . Докажем, что является подпространством в , пользуясь критерием подпространства. Пусть
и
произвольные матрицы из . Рассмотрим их сумму
.
Очевидно . Произведение на любое число
также принадлежит . Итак, является подпространством пространства , а значит, само является пространством.
Найдем базис этого пространства.
Ясно, что в базис можно включить, например,
, так как .
Так как , то нельзя получить в виде . Поэтому в качестве второго базисного вектора можно взять . Рассмотрим вектор . Его нельзя представить в виде линейной комбинации и , так как . Поэтому в качестве третьего базисного вектора возьмем . Всякий другой вектор можно представить в виде линейной комбинации .
.
Следовательно, система векторов является системой образующих пространства . По построению, эта система линейно независима. Значит, она является базисом.
Пример2. Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой. Найти коэффициенты линейной зависимости.
Решение. Пусть , где — некоторые числа. Подставляем в это равенство векторы .
.
После выполнения операции над векторами получаем
, откуда
Эту систему линейных уравнений решаем методом Гаусса:
.
Получилась трапецеидальная система уравнений. Она является неопределенной и потому имеет ненулевые решения (кроме нулевого). Таким образом, система линейно зависима. Найдем коэффициенты линейной зависимости. Для этого решаем однородную систему линейных уравнений, приведенную к трапецеидальному виду
Общее решение этой системы имеет вид .
Найдем частное решение, придавая произвольное значение, отличное от нуля, например, -3. Получим . Таким образом, . Очевидно, коэффициенты линейной зависимости определяются неоднозначно.
Пример 3. Найти какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, а остальные векторы выразить через нее.
Решение. Составим матрицу , столбцами которой являются данные векторы, и найдем ее ранг. Будем делать элементарные преобразования только над строками.
Первую строку, умноженную на соответствующие числа -2, -1, -3, прибавили ко второй, третьей, четвертой. Третью строку, умноженную на соответствующие числа -2, -4, прибавили ко второй и четвертой. И наконец, третью, умноженную на 2, прибавили к четвертой. Так как минор третьего порядка
Отличен от нуля, а определитель четвертого порядка равен нулю, то ранг последней матрицы, а значит, ранг матрицы равен 3. Отсюда следует, что ранг данной системы равен 3.
Три вектора входят в максимальную линейно независимую подсистему данной системы. Очевидно, что это векторы .Действительно, выразим вектор через : . Подставим в это уравнение выражения векторов . После выполнения операций над векторами получим: . Приравнивая соответствующие координаты, получим систему линейных уравнений:
.
Решаем эту систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу
.
Эта матрица совпадает с матрицей . Так как мы проделываем элементарные преобразования над строками матрицы , то эта система эквивалентна системе линейных уравнений, соответствующей последней матрице:
, то есть системе , откуда , а следовательно, .
Пример 4. Векторы заданы своими координатами в некотором базисе . Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. Так как система любых трех линейно независимых векторов является базисом 3-мерного пространства, то достаточно доказать, что система линейно независима. Для этого составим матрицу , столбцами которой являются координаты векторов , и найдем ее ранг.
.
Определитель этой матрицы , а значит, по теореме о ранге, ранг матрицы равен 3, что доказывает линейную независимость системы . Таким образом, образуют базис и -матрица перехода от базиса к базису . Для нахождения координат вектора в базисе воспользуемся формулой преобразования координат, приведенной в :
, где — матрица перехода от базиса к базису ; — координаты вектора в базисе ; — координаты вектора в базисе . Так как здесь
, то ,
Откуда , то есть .
Пример 5. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на векторы
Решение. Базис линейного подпространства совпадает с максимальной линейно независимой подсистемой системы векторов (доказать!). Найдем эту подсистему, для чего составим матрицу, столбцами которой являются векторы .
.
Найдем базисный минор этой матрицы. Так как минор второго порядка , то рассмотрим минор 3-го порядка, его окаймляющий
.
Теперь рассмотрим минор 4-го порядка, окаймляющий минор 3-го порядка, отличный от нуля. Это определитель матрицы .
.
Он равен нулю. Значит, является базисным минором, то есть минором наибольшего порядка, отличным от нуля. А тогда образуют максимальную линейно-независимую подсистему системы и тем самым образуют базис рассматриваемого подпространства, причем размерность подпространства равна 3.
Пример 6. Определить размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Решение. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений образует векторное пространство размерности , где — число неизвестных системы, а — ранг матрицы этой системы. Базис образует система из любых линейно независимых частных решений. Такая система решений называется фундаментальной. Находим общее решение системы методом Гаусса, для чего составляем матрицу системы:
.
Ранг матрицы равен трем. Следовательно, размерность пространства решений равна 2 . Данную систему уравнений заменим эквивалентной системой:
В качестве свободных неизвестных можно взять . Тогда
Общее решение системы имеет вид . Находим два линейно независимых частных решения. Для их нахождения мы два раза придаем и произвольные значения, но так, чтобы определитель второго порядка, составленный из этих значений, был отличен от нуля. Положим , а затем и найдем
Мы получим один из базисов пространства решений данной однородной системы уравнений.
Пример 7. Найти базис и размерность пересечения подпространств и , натянутых на системы векторов и соответственно, если векторы заданы координатами в некотором базисе пространства.
Решение. Вектор тогда и только тогда, когда линейно выражается через и через . А для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
был равен рангу матрицы
и ранг матрицы
был равен рангу матрицы
.
Выберем базисные миноры
и
матриц и соответственно. Для того, чтобы и , необходимо и достаточно, чтобы был базисным минором в , а — в . Приравнивая нулю все миноры и , окаймляющие соответственно и , содержащие столбец и имеющие порядок на единицу выше, чем и , получим систему линейных уравнений.
Решаем эту систему методом Гаусса.
. Общее решение имеет вид . Фундаментальная система состоит из одного вектора . Следовательно, вектор образует базис подпространства .
Литература: 3 — §17, 18
5 — №№ 608-613, 624-626, 636-650, 652-655, 661-669, 672, 674, 681, 689-695, 702-704, 712-714, 724-727, 1277-1293, 1296-1305, 1309-1311, 1317, 1318, 1320, 1321.
Контрольная работа 2
Найти значение многочлена и всех его производных в точке .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Найти рациональные корни и определить их кратность.
7.
8.
9.
10.
11. .
12. .
Разложить на неприводимые множители над полем .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
Найти каноническое разложение многочлена над полем путем отделения кратных корней.
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
Найти значение симметрического многочлена на корнях многочлена .
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Доказать, что следующее множество образует векторное пространство над полем . Найти его базис и размерность.
31. .
32. .
33. .
34. .
35. .
36. .
Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой. Найти коэффициенты линейной зависимости.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
Найти какую-нибудь максимальную независимую подсистему данной системы векторов, а остальные векторы выразить через нее.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе . Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
55. 57.
56. 58.
59. 60.
Найти базис пересечения подпространств и , натянутых на векторы и соответственно, если все векторы заданы своими координатами в некотором базисе пространства.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
ЛИТЕРАТУРА
-
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 6-е изд. М., 1971.
-
Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I. Минск, 1984.
-
Милованов М.В., Толкачев М.М., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть 2. Минск, 1981.
-
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. 3- изд. М.: Наука, 1974.
Учебное издание
ЖИГОТА АЛЛА ЭДУАРДОВНА
Методические указания и контрольные работы
по курсу «Алгебра и теория чисел»