Методические указания

к практическим занятиям по курсу «Молекулярная физика»

Содержание

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Решение задач по физике требует хорошей математической подготовки. В этом разделе даются сведения по математике, которые могут понадобиться при решении задач молекулярной физики.

§1. Таблица необходимых интегралов

§2. Системы координат

Наиболее важными и часто употребляемыми системами координат являются следующие:

1). На плоскости:

а). Прямоугольная декартова система координат. Начало отсчёта и две взаимно-перпендикулярные оси x и y выбираются произвольно, наиболее рациональным образом для каждой конкретной задачи. Положительные направления осей x и y задаются взаимно-перпендикулярными единичными векторами, соответственно, и ( ), образующими векторный базис системы, одинаковый для всех точек плоскости (рис. 1).

Положение любой точки плоскости, например точки М, задаётся двумя числами, x, и y (x, y  ). Положение точки более компактно можно задать с помощью радиус-вектора (рис. 1)

(1)

Длина радиус-вектора

(2)

Произвольный вектор записывается в виде

(3)

где с_х и с_у, соответственно, проекции на оси x и y. Длина вектора

(4)

Элемент длины дуги кривой (рис. 1)

(5)

Площадь элементарной площадки (рис. 1)

dS = dxdy. (6)

б). Полярная система координат (рис. 2). Положение произвольной точки плоскости (точки М) задаётся двумя числами  и  , , где  – расстояние от выбранного начала отсчёта до точки М,  – угол, отсчитываемый против часовой стрелки от произвольного направления до направления на эту точку. Ортонормированный базис и вводится для каждой точки плоскости, т.е. является локальным.

Между декартовыми и полярными координатами точки и базисными векторами существует связь, которую легко найти (рис. 2)

(7)

(8)

Радиус-вектор точки

. (9)

Произвольный вектор (рис. 3), имеющий начало в точке с координатами  и  записывается в виде

, (10)

а его длина

(11)

Здесь и – проекции вектора на направления, определяемые векторами и (рис. 3).

Элемент длины дуги некоторой кривой (рис. 4)

(12)

Площадь элементарной площадки (рис. 5)

(13)

В частности, площадь кольца радиуса  и толщины d легко получить из (13), проинтегрировав по , (рис. 5)

(14)

2). В пространстве:

а). Прямоугольная декартова система координат. Положение любой точки в пространстве (например, точки М, рис. 6) определяется тремя числами x, y, z (x, y, z ). Начало отсчёта и направление осей задаётся произвольно тремя взаимно-перпендикулярными единичными векторами , , ( = = = 0, , , ). Векторы , , образуют векторный базис, одинаковый для всех точек пространства.

Радиус-вектор точки

(15)

его длина

(16)

Произвольный вектор записывается в виде

(17)

где с_х, с_у, с_z – проекции на оси x, y, z. Длина вектора

(18)

Бесконечно малое изменение радиус-вектора при бесконечно малом перемещении точки М вдоль некоторой кривой (рис. 6)

(19)

Бесконечно малый элемент dl дуги кривой можно считать отрезком прямой, длина которого равна модулю вектора , соединяющего концы этого элемента:

(20)

Элементарный объём (объём элементарного кубика, рис. 6)

(21)

Площади элементарных площадок, перпендикулярных осям координат, равны площадям dydz, dzdx, dxdy соответствующих боковых граней элементарного кубика (рис. 6)

б). Цилиндрическая система координат. Положение точки M пространства (рис. 7) определяется тремя числами ,  , z ( , , ).

Для каждой точки пространства вводится локальный базис , , (рис. 6), ( , , , , ).

Радиус-вектор точки

, (22)

его длина

. (23)

Между декартовыми и цилиндрическими координатами точки и базисными векторами существует связь

(24)

(25)

Длина элемента дуги кривой

(26)

Площадь элементарной площадки цилиндрической поверхности, радиус которой 

(27)

Элементарный цилиндрический объём на расстоянии  от оси z (рис. 7)

(28)

в). Сферическая система координат. Положение точки M пространства определяется тремя числами r, ,  ( , , ). Ортонормированный базис , , также является локальным и вводится, как показано на рисунке 8: ( , , , , ).

Радиус-вектор точки

(29)

Из рисунка 8 нетрудно найти связь между декартовыми и сферическими координатами точки, а также связь между базисными векторами

(30)

(31)

(32)

Длина элемента дуги кривой

(33)

Площадь элементарной сферической поверхности радиуса r

. (34)

Объём элементарного кубика

. (35)

В частности, объём сферического слоя радиуса r и толщины dr легко находится из (34) путём интегрирования по углам  и :

. (36)

Кроме углов на плоскости, в математике и физике используются объёмные или телесные углы, которые характеризует угол зрения, под которым из точки (вершины угла) видно тело или некоторая поверхность.

Телесный угол – это часть пространства, ограниченная поверхностью, образованной прямыми линиями, проведенными из одной точки (вершины) ко всем точкам видимой границы тела или поверхности. Телесный угол, под которым из центра сферы радиусом r видна площадь S её поверхности,

. (37)

В сферической системе координат бесконечно малый телесный угол

. (38)

Интегрируя по углу  в пределах от 0 до 2, получим выражение для бесконечно малого телесного угла, заключённого между двумя коническими поверхностями с общей вершиной и осью z, углы раствора которых равны  и  + d (рис. 9).

. (39)

Интегрируя последнее соотношение по  в пределах от 0 до , получим выражение для конечного телесного угла

. (40)

При  =  получаем полный телесный угол

. (41)

Для описания движения молекул в некоторых случаях удобно использовать математическое пространство скоростей, в котором координаты x, y. z заменяются проекциями скоростей _x, _y, _z , а радиус-вектор – вектором скорости .