Тема 4. Статистические распределения

Вопросы для повторения. Плотность вероятности. Функции распределения. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Распределение Гаусса. Средние значения случайных величин. Дисперсия. Флуктуация.

Задачи

32. Найти <m>, ² и для случайных величин, подчиняющихся биноминальному распределению.

33. Машинистка напечатала 1000 страниц текста, сделав при этом 240 ошибок. Какова вероятность того, что взятая наугад страница не содержит ошибок? или имеет одну ошибку? две ошибки? Распределение ошибок является пуассоновским.

34. На рисунке 34 приведены графики плотности вероятности некоторой случайной величины х. Записать эти распределения и вычислить <x>, <x²>, ².

35. Гармонический осциллятор совершает колебания с амплитудой А. Масса осциллятора равна m, собственная частота – . Найти: а) плотность вероятности значений координаты х; б) <x>; в) ; г) <x²>;д) <U> – среднее значение потенциальной энергии.

36 (2.85). 37 (2.86).

38. Для студента, достигшего 21-летнго возраста, вероятность жениться на 22-м году равна в определённых условиях 0,09. Какова вероятность того, что через год из пяти студентов, достигших 21-летнего возраста, а) будут женаты трое; б) четверо будут холосты; в) менее трёх будут женаты?

39. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна . Производится шесть выстрелов. Какова вероятность ровно двух попаданий? Какова вероятность не менее двух попаданий?

40. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения одного изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 повреждённые изделия?

41. Найти <m>, ² и для случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона.

42. Найти <x>, <x²> для случайной величины х, подчиняющейся распределению Гаусса с плотностью вероятности .

43. Плотность вероятности некоторого процесса зависит от времени как , где  – постоянная. Определить среднее значение <t> и дисперсию распределения ².

44. На рисунке 44 приведены графики плотности вероятности значений случайной величины х. Записать эти функции и вычислить <x> и <x²>.

Тема 5. Распределение Максвелла

Вопросы для повторения. Распределение Максвелла по компонентам скорости. Распределение Максвелла по скорости . Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости.

45. Получить распределение Максвелла в сферической системе координат в скоростном пространстве.

46. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, получить распределение Максвелла по абсолютному значению скорости.

47. Найти , и .

48 (2.91). 49. (.92) 50 (2.93). 51 (2.100).

52 (2.104). 53 (2.89). 54 (2.94). 55 (2.99).

56. Найти относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более, чем на  = 1,00% от значения а) , б) , в) .

Тема 6. Применение распределения Максвелла

Вопросы для повторения. Основное уравнение кинетической теории газов. Число ударов молекул о стенку.

Задачи

57 (2.102). 58 (2.103). 59 (2.105).

60. Получить выражение для плотности тока термоэлектронной эмиссии из металла, считая, что распределение электронов в металле подчиняется распределению Максвелла. Работа выхода электронов из металла равна А, концентрация свободных электронов n, заряд электрона е, масса m, температура металла Т.

61. В сосуде объёмом V, из которого откачан воздух, открывается кран с очень малым сечением площади S. Как зависит давление воздуха внутри сосуда от времени? Считать, что наполнение сосуда протекает настолько медленно, что, несмотря на неравновесность процесса, можно говорить о давлении и температуре воздуха в сосуде. Температуру воздуха внутри сосуда считать равной внешней температуре Т. Давление наружного воздуха – р₀.

62 (2.107). 63 (2.108).

64. Записать распределение Максвелла по компонентам импульса и по абсолютному значению импульса.

65. Найти полную кинетическую энергию молекул газа, ударяющихся о стенку единичной площади в единицу времени. Масса одной молекулы m, температура газа Т, концентрация молекул n.