Лабораторная работа №1

Определение коэффициента трения с помощью наклонного маятника

Цель работы – изучить свободные затухающие колебания наклонного маятника; определить коэффициент трения качения.

Приборы – установка для определения коэффициента трения ФПМ-02.

Затухающие колебания

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний таких систем постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания в них всегда затухают, амплитуда постепенно уменьшается.

Уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

(1.1)

где колеблющаяся величина; коэффициент затухания колебаний; циклическая частота, с которой совершались бы свободные колебания в системе при отсутствии сил сопротивления (собственная частота колебаний системы).

Решением уравнения () является функция

(1.2)

где амплитуда затухающих колебаний в момент времени амплитуда в начальный момент времени.

График этой функции показан на рис. 1.1. Зависимость показана на сплошной линией, а зависимость амплитуды от времени пунктирными линиями. Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз, называется временем релаксации.

Рис. 1.1

Величину называют условной циклической частотой затухающих колебаний. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величина представляет собой условный период затухающих колебаний.

Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду , называется логарифмическим декрементом затухания

(1.3)

число колебаний, происходящих в системе за время релаксации.

Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность

(1.4)

Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше добротность колебательной системы.

Определение коэффициента трения качения методом исследования колебаний наклонного маятника

На любое движущееся тело действуют силы трения. Природа этих сил

может быть различной, но в результате их действия всегда происходит превращение механической энергии во внутреннюю энергию трущихся тел, т. е. энергию теплового движения частиц.

В механике различают два вида трения: сухое, или внешнее, между твердыми телами и внутреннее, или вязкое, между слоями жидкости или газа.

Внешним трением называется явление возникновения в месте контакта

двух соприкасающихся твердых тел касательных сил, препятствующих относительному перемещению этих тел.

Внешнее трение между движущимися друг относительно друга телами называется кинематическим.

Внешнее трение между взаимно неподвижными телами называется трением покоя. Оно проявляется в том, что для возникновения относительного перемещения двух соприкасающихся тел к одному из них нужно приложить внешнюю силу >>, где так называемая предельная сила покоя.

В зависимости от характера относительного движения различают трение

скольжения, возникающее при поступательном перемещении (скольжении) одного тела по поверхности другого, и трение качения, возникающее тогда, когда одно тело катится по поверхности другого.

Сила трения скольжения, возникающая при скольжении сухих поверхностей тел друг относительно друга, в основном вызывается механическим зацеплением между неровностями поверхностей и сцеплением между молекулами в областях их непосредственного соприкосновения.

В приближенных расчетах можно считать, что величина силы трения

скольжения пропорциональна силе нормального давления , а, следовательно, и силе реакции опоры , действующей на тело

(1.5)

где безразмерный коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств материалов обоих тел.

Коэффициент трения зависит также от множества других факторов: качества обработки трущихся поверхностей, наличия на них загрязнений, скорости скольжения и т. д.

В данной работе для определения коэффициента трения качения применяется наклонный маятник.

Наклонный маятник представляет собой шар, подвешенный на длинной нити и лежащий на наклонной плоскости.

а) б)

Рис. 1.2

Если шар отвести из положения равновесия (ось ) на угол , а затем отпустить, то возникнут колебания маятника. При этом шар будет кататься по наклонной плоскости около положения равновесия (рис. 1.2, а). Между шаром и наклонной плоскостью будет действовать сила трения качения. В результате колебания маятника будут по­степенно затухать, то есть будет наблюдаться уменьшение во времени амплитуды колебаний.

Можно предположить, что по величине затухания колебаний могут быть определены сила трения и коэффициент трения качения.

Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с коэффициентом трения качения . При качении шара по плоскости сила трения совершает работу. Эта работа уменьшает полную энергию шара. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий. В тех положениях, где маятник максимально отклонен от положения равновесия, его скорость, а, следова­тельно, и кинетическая энергия равны нулю. Эти точки называются точками поворота. В них маятник останавливается, поворачивается и движется обратно. В момент поворота энергия маятника равна по­тенциальной энергии, поэтому уменьшение потенциальной энергии маятника при его движении от одной точки поворота до другой равна работе силы трения на пути между точками поворота.

Пусть А - точка поворота (рис. 1.2, а). В этом положении нить маятника составляет угол с осью . Если бы трения не было, то через половину периода маятник оказался бы в точке N, а угол от­клонения был бы равен . Но из-за трения шар немного не докатится до точки и остановится в точке В. Это и будет новая точка поворота. В этой точке угол нити с осью будет равен . За половину периода угол поворота маятника уменьшился на . Точка В рас­положена несколько ниже, чем точка А, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из точки А в точку В.

Найдем связь между потерей угла и потерей высоты Для этого спроецируем точки А и В на ось (см. рис. 1.2, а). Это будут точки и соответственно. Очевидно, что длина отрезка

(1.6)

где длина нити.

Так как ось наклонена под углом к вертикали, проекция отрезка на вертикальную ось и есть потеря высоты (рис. 1.2, 6):

(1.7)

При этом изменение потенциальной энергии маятника при пере­ходе его из положения А в положение В равно:

(1.8)

где масса шара; ускорение свободного падения.

Вычислим работу силы трения. Сила трения определяется по формуле

(1.9)

где коэффициент трения; сила нормальной реакции плоскости.

Путь пройденный шаром за половину периода колебаний маятника, равен длине дуги

Работа силы трения на пути

(1.10)

Но , поэтому с учетом уравнений (1.6), (1.7), (1.8) получа­ется

откуда

(1.11)

Выражение (1.11) существенно упрощается с учетом того, что угол очень мал (порядка радиан).

Но . Поэтому . Таким образом, формула (1.11) приобретает вид

,

откуда (1.12)

Из формулы (1.12) видно, что потеря угла за половину периода определяется коэффициентом трения и углом . Однако можно найти такие условия, при которых от угла не зависит. Учтем, что коэффициент трения качения мал (порядка ). Если рас­сматривать достаточно большие амплитуды колебаний маятника , такие, при которых , то слагаемым в знаменателе формулы (1.12) можно пренебречь, то тогда

С другой стороны, пусть угол будет малым настолько, чтобы можно было считать, что . Тогда потеря угла за половину периода колебаний будет определяться формулой

(1.13)

Формула (1.13) справедлива, если

(1.14)

Из-за того, что , имеет порядок , неравенству (1.14) удовле­творяют углы порядка радиан.

Итак, за время одного полного колебания потеря угла составит

,

а за колебаний

Отсюда

(1.15)

Формула (1.15) дает удобный способ определения коэффициента трения качения. Необходимо измерить уменьшение угла за 10-15 колебаний, а затем по формуле (1.15) вычислить значение .

В формуле (1.15) величина выражена в радианах. Чтобы ис­пользовать значения в градусах, формулу (1.15) необходимо ви­доизменить

(1.16)