- •Множества. Операции над множествами.
- •Множество вещественных чисел. Свойства вещественных чисел.
- •Грани числовых множеств. Свойство точной грани.
- •Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.
- •Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Действия над ними.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности: определение, свойства, связь между ними.
- •Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.
- •Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Теорема о вложенных промежутках.
- •Понятие функции и способы ее задания.
- •Предел функции в точке.
- •Теорема о пределах функции.
- •I замечательный предел.
- •II замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции. Действия над ними.
- •Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
- •Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.
- •Теорема о сумме, произведении, частном непрерывных функций.
- •I теорема Больцано – Коши.
- •II теорема Больцано – Коши.
- •I теорема Вейерштрасса.
- •II теорема Вейерштрасса.
- •Теорема о непрерывной сложной функции.
- •Теорема о непрерывной обратной функции.
- •Понятие производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Понятие дифференцируемости функции.
- •Непрерывность и дифференцируемость функции.
- •Понятие дифференциала. Геометрический смысл.
- •Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •Производные элементарных функций.
- •Теорема о производной обратной функции.
- •Производные обратных функций.
- •Теорема о производной сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.
- •Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Условие монотонности функции на интервале.
- •Стационарные точки. I достаточное условие экстремума.
- •Достаточное условие экстремума.
- •Направление выпуклости функции.
- •Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба.
- •Достаточное условие точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
- •Понятие первообразной. Теорема и лемма о первообразной.
- •Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
- •Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменных.
- •Интегрирование по частям.
- •Основные типы интегралов, берущихся по частям.
-
Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
ТЕОР1: Если функции u=U(x), v=V(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: (uv)’=u’v’; (uv)’=u’v+v’u; ’=.
Док-во: Воспользуемся определением производной, равенством f(x+X)=f(x)+ Y и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного.
(uv)’=lim [u(x+X) v(x+X)] – [u(x) v(x)] = lim u(x+X) –u(x) v(x+X) – v(x) =
X X X
= lim u(x+X) –u(x) lim v(x+X) – v(x) = lim (u /X) lim (v /X) = u’ v’
X X
(uv)’= lim u(x+X) v(x+X) – u(x) v(x) = lim (u(x)+ u) (v(x)+v) - u(x) v(x) =
X X
lim u(x) v(x) + u v(x) + v u(x) + u v - u(x) v(x) =lim [v(x) (u /X) +u(x) (v /X) +v(u/X)]
X
= v lim (u /X) + u lim (v /X) + lim v lim (u/X) = v u’ + u v’ + 0 u’ = u’ v+ u v’
(u / v)’=lim [u(x) + u] / [v(x)+v] – [u(x) / v(x)] =lim u(x+X) v(x) – u(x) v(x+X) =
X X v(x+X) v(x)
=lim [u(x)+ u] v(x) – u(x) [v(x)+v] = lim u v + u v – u v – u v =lim v (u /X) - u (u /X)
X[v(x)+v] v(x) X[v + v] v v v + v v
= u’ v – u v’
vv
Так как lim v =0 (в силу дифференцируемости, а и непрерывности v(x)), а множители u и v не зависят от v.
-
Производные элементарных функций.
ТЕОР1: Производная функции f(x)=C выражается формулой Y’=0.
Док-во: Для х и X имеем: f = f (х +X) – f(x) = C – C = 0. Отсюда f /Х = 0/Х = 0 при Х0. Y’= lim f /X = 0.
ТЕОР2: Производная функции Y=X, где n - целое число, выражается формулой Y’=n X.
Док-во: Используя формулу бинома Ньютона , имеем
Y= (X+X) - Х=( Х+n X X +((n(n – 2))/2!) X(X) +K (X) ) - X= n X X + +((n(n – 1))/2!) X(X) +K(X) . Т. о., при Х0
Y/X = n X+((n(n – 2))/2!) X(X) + K (X) . Так как lim X=0, lim (X) =0, то Y’= lim Y/X = n X.
ТЕОР3: Производная функции Y=sin X выражается формулой Y’=cos X.
Док-во: Имеем Y= sin(X+X) – sinX = 2sin(X/2) cos(X+X/2). Т. о., при Х0
Y/X = 2sin(X/2) cos(X+X/2) = sin(X/2) cos(X+X/2).
X X/2
Так как lim sin(X/2) =1, а lim cos(X+X/2) = cos X, то Y’= lim Y/X =cos X.
X/2
ТЕОР4: Производная функции Y=cos X выражается формулой Y’= -sin X.
Док-во: Имеем Y= cos(X+X) – cos X = -2sin(X/2) sin(X+X/2). Т. о., при Х0
Y/X = -2sin(X/2) sin(X+X/2) = - sin(X/2) sin(X+X/2).
X X/2
Так как lim sin(X/2) =1, а lim -sin(X+X/2) = -sin X, то Y’= lim Y/X =-sin X.
X/2
ТЕОР5: Производная функции Y=tg X выражается формулой Y’=1/cos X (X/2+n, nZ).
Док-во: Y’=(tg X)’=(sin X/cos X)’=(sinX)’ cosX – sinX (cosX)’ = cosX + sinX = 1
cosX cosX cosX
ТЕОР6: Производная функции Y=ctg X выражается формулой Y’= -1/sin X (Xn, nZ).
Док-во: Y’=(ctg X)’=(cos X/sin X)’=(cosX)’ sinX – cosX (sinX)’ = - (sinX + cosX) = -1
sinX sinX sinX
ТЕОР7: Производная функции Y=log X (0<a1) выражается формулой Y’=(1/X)loge=1/(xln a).
Док-во: Имеем Y=log(X+X) - logX = log((X+X)/X) = log(1+X/X). Т. о., при Х0
Y/X = (1/X) log(1+X/X) = (1/X) (Х/X) log(1+X/X) = (1/X) log(1+X/X).
Полагая Х/X=h, имеем: lim (1+X/X)= lim (1+1/h)=e. Так как логарифмическая функция является непрерывной, то Y’=lim Y/X =(1/X) log[lim(1+X/X)]= (1/X) loge = 1/(Xln a).
СЛЕД: Если Y=logX =ln X, то Y’=(1/X).