- •Множества. Операции над множествами.
- •Множество вещественных чисел. Свойства вещественных чисел.
- •Грани числовых множеств. Свойство точной грани.
- •Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.
- •Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Действия над ними.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности: определение, свойства, связь между ними.
- •Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.
- •Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Теорема о вложенных промежутках.
- •Понятие функции и способы ее задания.
- •Предел функции в точке.
- •Теорема о пределах функции.
- •I замечательный предел.
- •II замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции. Действия над ними.
- •Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
- •Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.
- •Теорема о сумме, произведении, частном непрерывных функций.
- •I теорема Больцано – Коши.
- •II теорема Больцано – Коши.
- •I теорема Вейерштрасса.
- •II теорема Вейерштрасса.
- •Теорема о непрерывной сложной функции.
- •Теорема о непрерывной обратной функции.
- •Понятие производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Понятие дифференцируемости функции.
- •Непрерывность и дифференцируемость функции.
- •Понятие дифференциала. Геометрический смысл.
- •Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •Производные элементарных функций.
- •Теорема о производной обратной функции.
- •Производные обратных функций.
- •Теорема о производной сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.
- •Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Условие монотонности функции на интервале.
- •Стационарные точки. I достаточное условие экстремума.
- •Достаточное условие экстремума.
- •Направление выпуклости функции.
- •Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба.
- •Достаточное условие точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
- •Понятие первообразной. Теорема и лемма о первообразной.
- •Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
- •Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменных.
- •Интегрирование по частям.
- •Основные типы интегралов, берущихся по частям.
-
Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.
ТЕОР5: О существовании точной верхней грани.
Пусть Х не пустое, ограниченное сверху множество, тогда оно имеет точную верхнюю грань.
Док–во: Множество У, ограничивающих сверху множество Х, т. е. У – множество верхних граней множества Х (хХ) (с): хс. По свойству непрерывности (хХ) (уУ): хсу. Так как хс с – ограничивает множество Х; так как су с – наименьшее из таких чисел, т. е. является точной верхней гранью множества Х.
ТЕОР6: О существовании точной нижней грани.
Пусть Х не пустое, ограниченное снизу множество, тогда оно имеет точную нижнюю грань.
Док–во: Множество У, ограничивающих снизу множество Х, т. е. У – множество нижних граней множества Х (хХ) (с): хс. По свойству непрерывности (хХ) (уУ): хсу. Так как хс с – ограничивает множество Х; так как су с – наибольшее из таких чисел, т. е. является точной нижней гранью множества Х.
-
Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Действия над ними.
ОПР1: Если для любого n N поставлена в соответствие по закону вещественное число Xn, множество Х1, Х2, Х3,…, Хn,… - числовая последовательность или последовательность. Числа Х1, Х2,…, Хn,… - элементы последовательности, Xn - общий член последовательности, n - его номер. Последовательность содержит бесконечное число элементов, любые два элемента отличаются хотя бы номерами, геометрически изображается точками на прямой и координаты равны значениям элементов.
ОПР2: Способы задания.
Аналитический – с помощью формулы.
Алгоритмический – с помощью описания.
ОПР3: Произведение последовательности на число {Xn}*m – последовательность {m*Xn}.
ОПР4: Сумма двух последовательностей {Xn}+{Yn} – последовательность суммы {Xn+Yn}.
ОПР5: Разность двух последовательностей {Xn}-{Yn} – последовательность разности
{Xn-Yn}.
ОПР6: Произведение двух последовательностей {Xn}*{Yn} – последовательность произведения {Xn*Yn}.
ОПР7: Частное двух последовательностей {Xn}/{Yn} – последовательность частного {Xn/Yn}.
-
Ограниченные и неограниченные последовательности.
ОПР1: Последовательность {Xn} ограничена сверху, если cуществует точка М такая, что для любого члена последовательности выполняется неравенство XnM. (M)(Xn): XnM
ОПР2: Последовательность {Xn} ограничена снизу, если существует точка m такая, что для любого члена последовательности выполняется неравенство XnM. (m)(Xn): Xnm
ОПР3: Последовательность {Xn} ограничена, если существуют точки М и m такие, что для любого члена последовательности выполняется неравенство mXnM.
(M, m)(Xn): mXnM
ОПР4: Последовательность {Xn} ограничена, если существуют точка А=max (|m|, |M|) такая, что для любого члена последовательности выполняется неравенство |Xn|A. (A>0)(Xn): |Xn|A
ОПР5: Последовательность {Xn} неограниченна, если для любой точки А>0, найдется хотя бы один элемент последовательности удовлетворяет неравенству |Xn|>A. (A>0)(Xn): |Xn|>A